Una ecuación trigonométrica

Vamos a resolver una ecuación trigonométrica:

\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0.

Pero primero vamos a demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}. (1)

Bastará utilizar las conocidas expresiones para el seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos:

\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y,
\sin (x-y) = \sin x \cos y - cos x \sin y.

Haciendo x +y = A y x-y = B, despejando x e y en función de A y B y sustituyendo, tendremos la expresión (1). Pasamos a resolver la ecuación pero antes agrupamos en la forma

(\sin x+ \sin 3x) +(\sin 2x + \sin 4x) = 0.

Procedemos con los cálculos a partir de (1) en cada paréntesis:

2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} + 2 \sin \frac{2x+4x}{2}  \cos \frac{2x-4x}{2} = 0,
2 \sin 2x \cos (-x) + 2 \sin 3x + \cos (-x) = 0,
2 \cos (-x) (\sin 2x + \sin 3x) = 0,
-2 \cos x (2 \sin \frac{2x+3x}{2} \cos \frac{2x-3x}{2}) = 0,
-4 \cos x \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{-x}{2} = 0,
4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{5x}{2} = 0.

Por tanto, tenemos tres ecuaciones:

\cos x =0, (2)
\cos  \frac{x}{2} =0, (3)
\sin \frac{5x}{2} = 0, (4)

cuyas resoluciones son muy sencillas.

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Consultorio matemático. Primera duda resuelta

A partir de ahora voy a responder a ciertas dudas del consultorio de matematicas.net en esta página. Empecemos.

Consulta: Buenas, me piden encontrar el área de la región definida por y=x^3-3x y g=5x mediante integrales y no se ni por donde empezar, espero que me podáis ser de ayuda.

Muchas gracias de antemano.

Respuesta: Debes calcular los puntos de corte entre las funciones dadas. Es decir, resolver el sistema

x^3-3x = 5x.

Simplificando obtenemos

x(x^2-8) = 0,

cuyas soluciones son x = 0, \sqrt{8} y -\sqrt{8}. Ahora bien, debemos ver en qué posición están las gráficas entre dichos puntos. Para eso nada mejor que dibujarlas (me ayudo de desmos graphic calculator):

Ahora planteamos las integrales a calcular, que son

| \int_{-\sqrt{8}}^{0} (x^3-3x-5x) dx |,

|\int_{0}^{\sqrt{8}} 5x -(x^3-3x) dx |.

Pero claramente el área a calcular es el resultado de un proceso simétrico ya que las porciones de área a ambos lados del eje de ordenadas son iguales, por lo que bastará calcular

2 |\int_{0}^{\sqrt{8}} 5x-(x^3-3x) dx |.

El cálculo de esta integral es sencillo y su resultado es A = 2* 16 = 32, que es el área buscada en unidades de superficie.