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Diferencia simétrica generalizada

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \Delta B de los elementos que se hallan sólo en uno de los conjuntos. Más precisamente,

A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B) = (A-B) \cup (B-A).

Diferencia simétrica de dos conjuntos.

Diferencia simétrica de dos conjuntos.

La diferencia simétrica es una operación conmutativa y asociativa. Esto permite generalizarla para un número n de conjuntos. Es decir, tiene sentido la escritura

\Delta_{i=1}^{n} E_{i},

donde E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{n} es una colección de n subconjuntos de un conjunto dado X. Probaremos que \Delta_{i=1}^{n} E_{i} es el conjunto de los elementos de X que se hallan justo en un número impar de conjuntos E_{i}.

Diferencia simétrica de tres conjuntos.

Diferencia simétrica de tres conjuntos.

Hacemos la prueba por inducción sobre n. Para n=1 y n=2 es inmediata por definición de diferencia simétrica. Sea cierto para k \geq 2 y sea x \in \Delta_{i=1}^{k+1} E_{i}. Como

\Delta_{i=1}^{k+1} E_{i} = (\Delta_{i=1}^{k} E_{i}) \Delta E_{k+1},

entonces x \in \Delta_{i=1}^{k} E_{i} y x \notin E_{k+1} o x \notin \Delta_{i=1}^{k} E_{i} y x \in E_{k+1}. En el primer caso, aplicando la inducción, x pertenece a una cantidad impar de conjuntos E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k} y, evidentemente, también a una cantidad impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} (pues no pertenece a E_{k+1}) y, en el segundo caso x pertenece a E_{k+1} pero puede pertenecer a una cantidad par de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}. Si x pertenece sólo a E_{k+1}, entonces es evidente que pertenece a una cantidad impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} y si pertenece además a una cantidad par de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, es inmediato que pertenecerá a una cantidad impar de conjuntos E_{i} de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} (pues añadimos uno más y par más uno es impar). Por tanto,  la diferencia simétrica \Delta_{i=1}^{k+1} E_{i} es el conjunto de los elementos de X que se hallan en un número impar de conjuntos de E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{k}, E_{k+1} y esto termina la demostración.

Referencias:

Wikipedia

Mathematics

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Una demostración sobre sigma-álgebras generadas e imágenes inversas.

Sean X e Y dos conjuntos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación entre ellos. Si \mathcal{C} es una clase no vacía de partes de Y, tratamos de demostrar que la sigma-álgebra generada por la clase de las imágenes inversas de \mathcal{C} coincide con la imagen inversa de la sigma-álgebra generada por la clase \mathcal{C}. En símbolos

\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).

Sabemos que \mathcal{C} \subset \sigma(\mathcal{C}). Por tanto,
f^{-1}(\mathcal{C}) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))
Ahora bien, sabemos que f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) es una sigma-álgebra. Así que
\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).
Para probar la inclusión recíproca vamos a utilizar el método de los “conjuntos buenos”. Definimos la clase
\mathcal{M} = \{ B \in \sigma(\mathcal{C}) : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \}.
Como Y \in \sigma(\mathcal{C}) y f^{-1}(Y) = X \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), la clase \mathcal{M} es no vacía. Además si C pertenece a \mathcal{C}, tenemos que f^{-1} (C) \in f^{-1}(\mathcal{C}) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})). Por tanto, \mathcal{C} \subset \mathcal{M}. Sea B perteneciente a  \mathcal{M}. Entonces f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), de donde
f^{-1}(Y-B) = X-f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))
Esto prueba que Y-B pertenece a \mathcal{M}. Por otro lado, si (B_{n})_{n} es una familia numerable de elementos de \mathcal{M}, la familia (f^{-1}(B_{n}))_{n} es numerable y está formada por elementos de \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})). Esto significa que \cup_{n} B_{n} \in \sigma(\mathcal{C}) y también
f^{-1}(\cup_{n} B_{n}) = \cup_{n} f^{-1}(B_{n}) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})).
Hemos probado que \mathcal{M} es una sigma-álgebra por lo que \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{M}. Pero, por definición, es \mathcal{M} \subset \sigma(\mathcal{C}). La doble inclusión lleva a la igualdad y así podemos afirmar que
f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})),
lo que era nuestro objetivo al definir la clase \mathcal{M}. Esto termina la demostración.