Curso EVT. Lectura 3. Dependencia e independencia lineal

En esta lectura vamos a intentar exponer los conceptos de dependencia e independencia lineales. Lo haremos en el contexto más general posible y para ello vamos a emplear la noción de familia.

Sean I y X conjuntos no vacíos. Una aplicación f:I \rightarrow X se denomina familia de elementos de X indexada (o indizada) por I. Decimos que I es el conjunto de índices y para cada i \in I escribimos x_{i} =f(i). La familia se nota (x_{i})_{i \in I}.

Si tomamos un subconjunto no vacío J de I, la restricción de f a J da lugar a una subfamilia (x_{i})_{i \in J} de la familia (x_{i})_{i \in I}. Para unificar conceptos admitimos también la existencia de la familia vacía, que es única y no tiene elementos. De esta manera, convenimos en que si I es vacío la familia obtenida es la familia vacía. Si la aplicación f no es inyectiva entonces podemos tener elementos repetidos en la familia. Es decir, hallaremos índices i,j de I tales que i \neq j pero x_{i} = x_{j}. El rango de la familia (x_{i})_{i \in I} es el recorrido de la aplicación f y resulta por tanto un subconjunto de X. En el caso de que la aplicación f sea inyectiva podemos identificar la familia con su rango. Esto nos lleva a plantearnos la situación contraria. En particular, si X es un conjunto no vacío, podemos también considerarlo como una familia mediante la aplicación identidad. Es decir, el conjunto de índices coincide con X.
En la práctica, se suele tomar un conjunto I equipotente a X y así la notación queda en la forma usual: X=(x_{i})_{i \in I}. Siguiendo estos convenios, un subconjunto no vacío de un conjunto X puede considerarse como una subfamilia no vacía de X. Paralelamente, si X es vacío consideramos que está representado por la familia vacía. De esta forma, todas las definiciones que se aplican a familias también se aplican a conjuntos y así se entenderá en lo sucesivo.

Definición 2. Combinación lineal finita.
Sea A=(x_{i})_{i \in I} una familia no vacía de vectores de E. Una combinación lineal finita de elementos de la familia es todo vector x de E, obtenido mediante una subfamilia finita no vacía B=(x_{i})_{i \in J} de A y una familia (\lambda_{i})_{i \in J} de escalares, operados en la forma
x=\sum_{i \in J} \lambda_{i} x_{i}.

Los escalares \lambda_i de la combinación lineal se llaman coeficientes de dicha combinación. Por convenio, consideramos que el cero es la única combinación lineal de la familia vacía. Esto se puede simbolizar en la forma

\sum_{i \in \emptyset} x_i = 0.

Obsérvese también que en esta definición de combinación lineal finita puede aparecer varias veces el mismo vector. Por ejemplo, si la familia no vacía es (x,x,y), tenemos que una combinación lineal es
\lambda_1 x + \lambda_2 x + \lambda_3 y.
El lector puede deducir fácilmente que esta combinación equivale a
(\lambda_1 + \lambda_2) x + \lambda_3 y,
por lo que, en la práctica, el hecho de considerar familias en lugar de conjuntos es una cuestión de generalidad y notación.

Definición 3. Envoltura lineal.
Sea A=(x_{i})_{i \in I} una familia no vacía de vectores de E. Al conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de sus elementos se le denomina envoltura lineal de dicha familia y se notará mediante L((x_{i})_{i \in I}) o bien L(A).
Definición 4. Dependencia lineal de un elemento.
Un vector x depende linealmente de la familia (x_{i})_{i \in I} si pertenece a su envoltura lineal.
Vamos ahora a la definición central de esta lectura.

Definición 5: Dependencia e independencia lineal de una familia o conjunto,
Sea (x_{i})_{i \in I} una familia de vectores no vacía de un espacio vectorial E sobre K. Decimos que dicha familia es linealmente independiente si para cada subfamilia finita y no vacía (x_{i})_{i \in J} se tiene que la combinación lineal
\sum_{i \in J} \lambda_{i} x_{i} = 0
implica que los escalares \lambda_{i} de K verifican \lambda_{i} =0 para todo i \in J. En caso contrario, diremos que la familia es linealmente dependiente.

Referencias: Wikipedia, “Advanced Linear Algebra” (Steven Roman, Ed. Springer)

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