Ejercicios de Demidovich (3)

Imagen24. Recordemos que una función real de variable real h es par si su dominio D es un conjunto simétrico D = \{ x : -l<x<l \} y h(-x) = h(x) para cada x \in D. En el caso de que h(-x) = -h(x) para cada x \in D, se dice que la función es impar. Sea f una función con dominio simétrico. Entonces podemos comprobar que la función

g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}

es par. En efecto,

g(-x) = \frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = g(x).

Por otro lado, la función

h(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}

es impar, pues

h(-x) = \frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = - \frac{f(x) -f(-x)}{2} = -h(x).

Finalmente, es g(x)+h(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2} +\frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x).

25. Sea f y g dos funciones pares con dominio común D. Entonces para cada x \in D es

(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x) g(x) = (fg)(x).

Lo que prueba que fg es una función par. Del mismo modo, si f y g son impares con dominio común D, para todo x \in D resulta

(fg)(-x) = f(-x) g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x) g(x) = (fg)(x) .

Así que el producto fg es par. Del mismo modo se prueba que el producto de una función par y otra impar es una función impar.

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Ejercicios de Demidovich (1)

Cada vez considero más importante conocer y manejar con soltura y profundidad todos los aspectos teóricos y prácticos relativos a los números reales. De ellos se nutre gran parte de los desarrollos más avanzados. Con este fin he pensado en ir resolviendo problemas de textos relevante. Comenzaré con el texto de Demidovich: “Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático”, Ed. Paraninfo, un clásico que permanece en un lugar importante de mi biblioteca. El primer bloque de ejercicios es el siguiente:Demidovich-1-2

Vamos a dar indicaciones para su resolución. En primer lugar, recordemos que el valor absoluto de un número real x, se define mediante

|x| = x, si x \geq 0,

|x| = -x, si x <0.

Pero también podemos definirlo como

|x| = \max \{x, -x \}.

En todo caso, el valor absoluto se define a través del orden usual presente en el conjunto de los números reales. Este orden es, evidentemente, compatible con la estructura de cuerpo.

Para resolver el ejercicio 1, vamos a utilizar la desigualdad triangular

|x+y| \leq |x|+ |y|,

y el hecho de que las desigualdades: -a \leq x \leq a, con a \geq 0, equivalen a |x| \leq a. Pero, ¿cómo probar ambos hechos a partir de la definición de valor absoluto? Lo cierto es que no es muy difícil. Primero demostraremos que -a \leq x \leq a, equivale a |x| \leq a. En efecto, sea a \geq 0 y supongamos que |x| \leq a, entonces

\max \{x, -x \} \leq a,

pero esto significa que x \leq a y -x \leq a. Multiplicamos la última desigualdad por (-1) y queda como -a \leq x. Es decir,

-a \leq x \leq a.

Por tanto |x| \leq a, con a \geq 0, equivale a -a \leq x \leq a. Recíprocamente, si fuera -a \leq x \leq a con a \geq 0, entonces para el caso x \geq 0, tendríamos que

|x| = \max \{x, -x \} = x \leq a.

Mientras que para el caso, x \leq 0, tendríamos que

|x| = \max \{x, -x \} = -x .

Ahora bien, como -a \leq x, entonces -x \leq a y |x| \leq a.

Una vez tenemos clara esta propiedad, demostraremos la desigualdad triangular. Partimos de las desigualdades triviales:

|x| \leq |x| e |y| \leq |y|.

Como |x|, |y| \geq 0, resulta que

-|x| \leq x \leq |x| y también -|y| \leq y \leq |y|.

Sumamos miembro a miembro para obtener

-|x|-|y| \leq x+y \leq |x|+|y|,

lo que significa que

|x+y| \leq |x|+|y|.

Sean a,b números reales. Es fácil ver que |-b| = \max \{-b, -(-b) \} =\max \{-b, b \}= |b|, por lo que

|a-b| =| a + (-b)| \leq |a|+|-b| = |a|+|b|. (1)

Por otro lado

a = (a-b)+b,

de donde,

|a| = |a-b +b| \leq |a-b|+|b|,

|a|-|b| \leq |a-b|. (2)

Análogamente,

|b| = |b-a+a| \leq |b-a|+|a| = |a-b|+|a|,

|b|-|a| \leq |a-b|,

-|a-b| \leq |a|-|b|. (3)

Combinando (2) y (3) resulta ||a|-|b|| \leq |a-b|. Combinando (1) y (3) tenemos resuelto el ejercicio 1.

Para el ejercicio 2, podemos utilizar la definición del valor absoluto y las propiedades del orden total en \mathbb{R}, estudiando caso a caso. Este proceso es laborioso aunque bastante ilustrativo. Preferimos demostrar primero d) y con esta nueva definición de valor absoluto demostrar el el resto de apartados. Recordemos que con el símbolo \sqrt{} estamos indicando la raíz cuadrada positiva cuya existencia en la recta real está garantizada para todo número mayor o igual que cero. Sea a \geq 0, entonces a^2 \geq 0 y \sqrt{a^2} = a = |a|. En el caso de que a \leq 0, entonces -a \geq 0 y  a^2 = (-a)^2 \geq 0, de donde \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} = -a = |a|. Esto prueba a). El resto es análogo y se deja a cargo del lector.

Apéndice: Una manera alternativa de demostrar la desigualdad triangular

Espacios métricos. Definiciones equivalentes.

Un espacio métrico se define como un par (E,d) donde E es un conjunto no vacío y d es una aplicación

d: E \times E \rightarrow \mathbb{R}

que verifica:

(a) para todos x,y de E, se cumple d(x,y) \geq 0.

(b) Para todos x,y de E es ,d(x,y)=d(y,x).

(c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

(d) Para todos x,y,z de E se cumple d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) (desigualdad triangular).

La aplicación d se dice entonces que es una métrica sobre E.

Es posible dar una definición equivalente con un número menor de condiciones. Así tenemos que si existe una aplicación d de E \times E en \mathbb{R} que cumple

(i) d(x,y) =0 si y sólo si x=y.

(ii)  d(x,y) \leq d(x,z)+d(y,z), para todos x,y,z \in E,

entonces dicha aplicación es una métrica sobre E y (E,d) es un espacio métrico. Así hemos reducido cuatro condiciones a sólo dos. Veamos ahora la equivalencia. En primer lugar, es claro que las condiciones (b), (c) y (d) implican (i) y (ii), por lo que nos limitaremos a ver que (i) y (ii) implican (a), (b), (c) y (d).

Evidentemente (i) es equivalente a (c). Sea cierto (ii); entonces tomando z=x, resulta

d(x,y) \leq d(x,x)+d(y,x),

pero como por (i) es d(x,x)=0, tenemos que

d(x,y) \leq d(y,x).

Análogamente, si cambiamos x por y en la expresión (ii), resulta

d(y,x) \leq d(y,z)+d(x,z),

por lo que tomando z=y, llegamos a

d(y,x) \leq d(y,y)+d(x,y) = d(x,y).

La doble desigualdad implica que d(x,y) = d(y,x) y así (ii) implica (b).

Sean cierto (i) y (ii), entonces haciendo x=y, vemos que

d(x,x) \leq d(x,z)+d(x,z),

es decir, 2d(x,z) \geq 0 y de aquí d(x,z) \geq 0. Esto significa que la aplicación d da siempre resultados positivos o nulos y en consecuencia, se cumple (a). Finalmente, (i) y (ii) implican (b) y (b) junto con (ii) implica (d).

Diferencia de conjuntos (2)

Vamos a dar las demostraciones de una serie de interesantes propiedades de la diferencia de conjuntos.

(1). Sean A,B y C tres subconjuntos de X, entonces

(A-B)- C = A- (B \cup C) .

En efecto, si A' es el complementario de A, tenemos que

(A-B)-C = (A \cap B') \cap C' = A \cap (B' \cap C'),

y aplicando las leyes de De Morgan,

A \cap (B' \cap C') = A \cap (B \cup C)' = A -(B \cup C).

Sin embargo, es

(2) A-(B-C) = (A-B) \cup (A \cap C).

La demostración es análoga a la anterior. Más interesantes son las igualdades donde intervienen uniones e intersecciones de familias de subconjuntos de X. Así si (A_i)_{i \in I} es una familia de partes de X y A \subset X, entonces

(3) A - \cup_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} (A-A_i),

(4) A -\cap_{i \in I} A_i = \cup_{i \in I}(A-A_i).

En efecto, tenemos que

A- \cup_{i \in I} A_i = A \cap (\cup_{i \in I} A_i)' = A \cap ( \cap_{i \in I} A_i') =\cap_{i \in I} (A \cap A_i')= \cap_{i \in I} (A- A_i).

La demostración de (4) es análoga.

La diferencia de conjuntos (1)

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia A-B o complemento relativo de A a B es el conjunto

\{ x \in A : x \notin B \}.

Al tratarse de un subconjunto de A, los axiomas de la teoría de conjuntos nos dicen que existe como tal y no necesitamos un marco más amplio para definirla. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones consideramos dos subconjuntos A y B de un conjunto dado X. En tal caso, la diferencia es un subconjunto de X y su definición es la misma

A-B = \{x \in X : x \in A, x \notin B \}.

Esta segunda interpretación es la que vamos a tomar para dar una serie de propiedades. En primer lugar,

A-A = \emptyset.

Propiedad de inmediata demostración. Por otro lado, en general

A-B \neq B-A.

Las propiedades más interesantes se dan cuando tenemos en cuenta la relación de la diferencia con otras operaciones de conjuntos como la unión, la intersección y el paso al complementario. Así tenemos que el complementario de A en relación a X es

A' = X -A,

y esto nos permite definir

A-B = A \cap B'.

Esta igualdad nos va a ser muy útil para las siguientes demostraciones.

Interesante equicardinalidad de conjuntos de funciones

Sean tres conjuntos A, B y C. Supongamos que los conjuntos A y B son equinumerosos (tienen el mismo cardinal). Sean

A^{C} = \{ f: C \rightarrow A \},

B^{C} = \{g: C \rightarrow B \},

los conjuntos de las funciones f de C en A y de las funciones g de C en B, respectivamente. Probaremos que A^{C} y B^{C} tienen el mismo cardinal. Para ello vamos a utilizar la biyección

f: A \rightarrow B

que, por hipótesis, existe entre A y B. Con ella, definimos la aplicación

\lambda : A^{C} \rightarrow B^{C},

dada por \lambda (h) = f \circ h. Esta aplicación está bien definida (ver imagen)

Imagen

pues a cada aplicación de C en A le hacemos corresponder una aplicación de C en B. Probaremos que \lambda es una biyección. El método que vamos a emplear es definir otra aplicación \mu que resulta ser inversa de \lambda. Sea pues

\mu : B^{C} \rightarrow A^{C}

dada por \mu (j) = f^{-1} \circ j.  Es fácil ver que está bien definida (ver imagen)

Imagen

Sólo nos resta ver las relaciones siguientes:

(\mu \circ \lambda)( h) = \mu (\lambda (h) ) = \mu (f \circ h) = f^{-1} \circ f \circ h =h,

(\lambda \circ \mu) (j) = \lambda (\mu (j )) = \lambda (f^{-1} \circ j) = f \circ f^{-1} \circ j = j.

En efecto, tales relaciones muestran que \lambda y \mu son inversas una de la otra por lo que son biyecciones y concluimos que el cardinal de A^{C} es igual al cardinal de B^{C}.