Ejercicios resueltos (Carothers) (3)

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Solución:

5. Supongamos que a > b, entonces tomando \epsilon = \frac{1}{2} (a-b) >0, hallaremos un N \in \mathbb{N} tal que si n \geq N, es

|a_n -a| < \frac{1}{2} (a-b).

Esto es,

\frac{1}{2} (b-a) < a_n -a < \frac{1}{2} (a-b).    (1)

Tomando el lado izquierdo de (1) y sumando a tenemos

\frac{1}{2} (b+a) < a_n, para n \geq N.  (2)

Pero como hemos supuesto que a >b, concluimos que

b = \frac{1}{2}(b+b) <\frac{1}{2} (b+a) < a_n, para n \geq N.

Esto contradice la suposición inicial de que a_n \leq b para todo n y por ello habrá de ser a \leq b. Obsérvese que hemos probado que el límite de la sucesión será siempre menor o igual que cualquier valor que sea mayor o igual que cada uno de sus elementos.

Sea S = \{a_n : n \in \mathbb{N} \} el recorrido de la sucesión. Evidentemente este conjunto es no vacío. Como hemos supuesto que a_n \leq b, para todo entero positivo n, resulta que dicho conjunto está acotado superiormente y el axioma del supremo garantiza la existencia de \sup S. Por definición es

a_n \leq \sup S, para todo n. (3)

Por lo que haciendo b = \sup S (recordemos el primer apartado ya probado), podemos afirmar que

a= \lim_n a_n \leq \sup S.

6.  Sea (a_n) una sucesión convergente de números reales y sea a su límite. Probaremos primero que el conjunto S = \{a_n : n \in \mathbb{N} \} está acotado. Consideramos \epsilon = 1, hallaremos un entero positivo N, de forma que

|a_n -a | < 1, para n \geq N. (4)

Es decir, -1 < a_n -a < 1 y de aquí a-1 < a_n <a+1. Tomando

L= \min (\{ a_n : n < N \} \cup \{ a-1 \}),

U = \max (\{a_n : n < N \} \cup \{a+1\}),

podemos asegurar que L \leq a_n \leq U, para todo entero positivo n. Esto prueba que S está acotado. En el ejercicio anterior demostramos que en este caso

\lim_n a_n \leq \sup S. (5)

Ahora veremos que se da la desigualdad correspondiente para el ínfimo del recorrido de la sucesión. El desarrollo es en todo similar al ya visto para el caso del supremo. Empezamos suponiendo que existe b con b \leq a_n, para todo n y que a es el límite de la sucesión a_n. Si fuera a <b, entonces para \epsilon = \frac{1}{2} (b-a), concluiríamos que existe un entero positivo N para el que si n \geq N, entonces

a_n -a < \frac{1}{2}(b-a).   (6)

Sumamos a a ambos miembros de (5) y vemos que

a_n < \frac{1}{2}(a+b) <\frac{1}{2}(b+b) = b, para n \geq N.

Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que a= \lim_n a_n \geq b. En definitiva, si una sucesión convergente tiene su recorrido acotado inferiormente por b entonces el límite de dicha sucesión es mayor que b. Evidentemente, \inf S es una cota inferior del recorrido por lo que

\inf S \leq \lim_n a_n. (7)

Las desigualdades (5) y (7) son las buscadas en este problema.

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Ejercicios de Demidovich (6)

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Solución:

a) Intentamos despejar el valor de x, teniendo en cuenta el subconjunto del plano S para que el que la expresión tiene sentido. De esta manera, como \arccos y está definida para el intervalo [-1,1], tenemos que si (x,y) \in S \subset \mathbb{R} \times [-1,1], entonces de

x^2 - \arccos y = \pi,

tenemos que

\arccos y = x^2 - \pi,

y = \cos (x^2 -\pi) = -\cos (x^2), con x \in \mathbb{R}, (recordemos que \cos (a -\pi) = - \cos a).

b) Esta expresión exponencial puede simplificarse mediante

10^y = 10-10^x,

y = \log(10-10^x).

Pero hemos de tener en cuenta que 10 -10^x >0, esto es -10^x > -10, o bien 10^x < 10, de donde x<1.

c) Aquí hemos de tener en cuenta la definición de valor absoluto. Por tanto, si y \geq 0, resulta

x+y = 2y,

x-y = 0,

y=x, x \geq 0.

Mientras que si y <0, es

x-y = 2y,

x-3y = 0,

y = \frac{1}{3} x, x <0.

Ejercicios de Carothers (2)

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Solución:

2. (a). Como A está acotado y es no vacío esto significa que existen L, S, números reales tales que L \leq x \leq S para todo x \in A. Por tanto, el axioma del supremo nos garantiza la existencia de una cota superior mínima y una cota inferior máxima que notaremos como \sup A e \inf A, respectivamente y que, por definición cumplen

-\infty <L \leq \inf A \leq x \leq \sup A \leq S < +\infty, para todo x \in A. (1)

Ahora bien, existen al menos dos elementos en A. Sean estos x,y con x \neq y. El orden total implica que x <y o y<x. En el primer caso, vemos por (1) que

-\infty < \inf A \leq x <y \leq \sup A < +\infty. (2)

Si y<x,  la desigualdad es análoga y en todo caso permite concluir que

-\infty < \inf A < \sup A < +\infty.

(b).  Sea B \subset A con B \neq \emptyset. Si x \in B, entonces x \in A por lo que

x \leq \sup A. (3)

Esto significa que \sup A es una cota superior de B y B está acotado superiormente por lo que existe \sup B y será \sup B \leq \sup A. Del mismo modo, si x \in B, entonces x \in A y concluimos que

\inf A \leq x. (4)

Es decir, B está acotado inferiormente. Como en el caso anterior podemos garantizar la existencia de una cota superior máxima (ínfimo) para B, que verifica \inf A \leq \inf B. Teniendo en cuenta estos resultados concluimos que

\inf A \leq \inf B \leq \sup B \leq \sup A.

(c) Sea ahora B el conjunto de todas las cotas superiores de A. Como A está acotado superiormente podemos garantizar que B es no vacío pues contiene al menos un elemento. Además, por definición de supremo, existe un valor s \in B, que es comparable con todos los elementos x de B y verifica s \leq x. Esto significa que s es el mínimo de B. Ahora bien, si existe mínimo en un conjunto este mínimo es igual al ínfimo de dicho conjunto pues, evidentemente, resultará ser una cota inferior máxima. En símbolos.

\sup A = \min B = \inf B.

3.  Sea A un subconjunto no vacío de \mathbb{R} y supongamos que está acotado superiormente. Sea s = \sup A.  Entonces, (i) s es una cota superior de A ya que por definición el supremo es la menor de las cotas superiores de dicho conjunto. (ii) Supongamos que existe \epsilon >0 tal que para todo a \in A es a \leq s-\epsilon. Entonces como s- \epsilon < s, concluiríamos que a \leq s-\epsilon < s para todo a \in A,  y s no sería la cota superior mínima. Para evitar esta contradicción esto no es posible y para todo \epsilon >0 podremos hallar al menos un a \in A de forma que a > s -\epsilon.

Supongamos que s es una cota superior de A que cumple la condición anterior: para todo \epsilon >0 podremos hallar al menos un a \in A de forma que a > s -\epsilon. Probaremos que s = \sup A. En efecto, si x es una cota superior de A, entonces para todo a \in A es a \leq x, lo que combinado con la desigualdad anterior nos dice que para todo \epsilon >0 es

x > s- \epsilon. (5)

Por tanto, x \geq s y concluimos que s es comparable con todas las cotas superiores de A y resulta menor que todas ellos. Es decir, s = \sup A.  La prueba para el caso del ínfimo es similar y se deja a cargo del lector.

4. Sea A un subconjunto no vacío y acotado superiormente de la recta real. Sea \sup A la menor de sus cotas superiores. Consideremos para cada entero positivo n el valor \epsilon = \frac{1}{n} >0. Entonces, existe para cada n un elemento x_n \in A tal que

\sup A >x_n > \sup A - \frac{1}{n}. (6)

Esto es consecuencia de la definición alternativa de supremo que hemos dado en el ejercicio 3. Ahora restamos \sup A a ambos miembros de (6), le “damos la vuelta” y tenemos

- \frac{1}{n} < x_n - \sup A < 0 < \frac{1}{n}. (7)

Pero esto significa que

| x_n - \sup A| < \frac{1}{n}. (8)

Es decir, \lim x_n = \sup A.

Ejercicios de Demidovich (3)

Imagen24. Recordemos que una función real de variable real h es par si su dominio D es un conjunto simétrico D = \{ x : -l<x<l \} y h(-x) = h(x) para cada x \in D. En el caso de que h(-x) = -h(x) para cada x \in D, se dice que la función es impar. Sea f una función con dominio simétrico. Entonces podemos comprobar que la función

g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}

es par. En efecto,

g(-x) = \frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = g(x).

Por otro lado, la función

h(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}

es impar, pues

h(-x) = \frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = - \frac{f(x) -f(-x)}{2} = -h(x).

Finalmente, es g(x)+h(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2} +\frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x).

25. Sea f y g dos funciones pares con dominio común D. Entonces para cada x \in D es

(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x) g(x) = (fg)(x).

Lo que prueba que fg es una función par. Del mismo modo, si f y g son impares con dominio común D, para todo x \in D resulta

(fg)(-x) = f(-x) g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x) g(x) = (fg)(x) .

Así que el producto fg es par. Del mismo modo se prueba que el producto de una función par y otra impar es una función impar.

Ejercicios de Demidovich (1)

Cada vez considero más importante conocer y manejar con soltura y profundidad todos los aspectos teóricos y prácticos relativos a los números reales. De ellos se nutre gran parte de los desarrollos más avanzados. Con este fin he pensado en ir resolviendo problemas de textos relevante. Comenzaré con el texto de Demidovich: “Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático”, Ed. Paraninfo, un clásico que permanece en un lugar importante de mi biblioteca. El primer bloque de ejercicios es el siguiente:Demidovich-1-2

Vamos a dar indicaciones para su resolución. En primer lugar, recordemos que el valor absoluto de un número real x, se define mediante

|x| = x, si x \geq 0,

|x| = -x, si x <0.

Pero también podemos definirlo como

|x| = \max \{x, -x \}.

En todo caso, el valor absoluto se define a través del orden usual presente en el conjunto de los números reales. Este orden es, evidentemente, compatible con la estructura de cuerpo.

Para resolver el ejercicio 1, vamos a utilizar la desigualdad triangular

|x+y| \leq |x|+ |y|,

y el hecho de que las desigualdades: -a \leq x \leq a, con a \geq 0, equivalen a |x| \leq a. Pero, ¿cómo probar ambos hechos a partir de la definición de valor absoluto? Lo cierto es que no es muy difícil. Primero demostraremos que -a \leq x \leq a, equivale a |x| \leq a. En efecto, sea a \geq 0 y supongamos que |x| \leq a, entonces

\max \{x, -x \} \leq a,

pero esto significa que x \leq a y -x \leq a. Multiplicamos la última desigualdad por (-1) y queda como -a \leq x. Es decir,

-a \leq x \leq a.

Por tanto |x| \leq a, con a \geq 0, equivale a -a \leq x \leq a. Recíprocamente, si fuera -a \leq x \leq a con a \geq 0, entonces para el caso x \geq 0, tendríamos que

|x| = \max \{x, -x \} = x \leq a.

Mientras que para el caso, x \leq 0, tendríamos que

|x| = \max \{x, -x \} = -x .

Ahora bien, como -a \leq x, entonces -x \leq a y |x| \leq a.

Una vez tenemos clara esta propiedad, demostraremos la desigualdad triangular. Partimos de las desigualdades triviales:

|x| \leq |x| e |y| \leq |y|.

Como |x|, |y| \geq 0, resulta que

-|x| \leq x \leq |x| y también -|y| \leq y \leq |y|.

Sumamos miembro a miembro para obtener

-|x|-|y| \leq x+y \leq |x|+|y|,

lo que significa que

|x+y| \leq |x|+|y|.

Sean a,b números reales. Es fácil ver que |-b| = \max \{-b, -(-b) \} =\max \{-b, b \}= |b|, por lo que

|a-b| =| a + (-b)| \leq |a|+|-b| = |a|+|b|. (1)

Por otro lado

a = (a-b)+b,

de donde,

|a| = |a-b +b| \leq |a-b|+|b|,

|a|-|b| \leq |a-b|. (2)

Análogamente,

|b| = |b-a+a| \leq |b-a|+|a| = |a-b|+|a|,

|b|-|a| \leq |a-b|,

-|a-b| \leq |a|-|b|. (3)

Combinando (2) y (3) resulta ||a|-|b|| \leq |a-b|. Combinando (1) y (3) tenemos resuelto el ejercicio 1.

Para el ejercicio 2, podemos utilizar la definición del valor absoluto y las propiedades del orden total en \mathbb{R}, estudiando caso a caso. Este proceso es laborioso aunque bastante ilustrativo. Preferimos demostrar primero d) y con esta nueva definición de valor absoluto demostrar el el resto de apartados. Recordemos que con el símbolo \sqrt{} estamos indicando la raíz cuadrada positiva cuya existencia en la recta real está garantizada para todo número mayor o igual que cero. Sea a \geq 0, entonces a^2 \geq 0 y \sqrt{a^2} = a = |a|. En el caso de que a \leq 0, entonces -a \geq 0 y  a^2 = (-a)^2 \geq 0, de donde \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} = -a = |a|. Esto prueba a). El resto es análogo y se deja a cargo del lector.

Apéndice: Una manera alternativa de demostrar la desigualdad triangular

Espacios métricos. Definiciones equivalentes.

Un espacio métrico se define como un par (E,d) donde E es un conjunto no vacío y d es una aplicación

d: E \times E \rightarrow \mathbb{R}

que verifica:

(a) para todos x,y de E, se cumple d(x,y) \geq 0.

(b) Para todos x,y de E es ,d(x,y)=d(y,x).

(c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

(d) Para todos x,y,z de E se cumple d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) (desigualdad triangular).

La aplicación d se dice entonces que es una métrica sobre E.

Es posible dar una definición equivalente con un número menor de condiciones. Así tenemos que si existe una aplicación d de E \times E en \mathbb{R} que cumple

(i) d(x,y) =0 si y sólo si x=y.

(ii)  d(x,y) \leq d(x,z)+d(y,z), para todos x,y,z \in E,

entonces dicha aplicación es una métrica sobre E y (E,d) es un espacio métrico. Así hemos reducido cuatro condiciones a sólo dos. Veamos ahora la equivalencia. En primer lugar, es claro que las condiciones (b), (c) y (d) implican (i) y (ii), por lo que nos limitaremos a ver que (i) y (ii) implican (a), (b), (c) y (d).

Evidentemente (i) es equivalente a (c). Sea cierto (ii); entonces tomando z=x, resulta

d(x,y) \leq d(x,x)+d(y,x),

pero como por (i) es d(x,x)=0, tenemos que

d(x,y) \leq d(y,x).

Análogamente, si cambiamos x por y en la expresión (ii), resulta

d(y,x) \leq d(y,z)+d(x,z),

por lo que tomando z=y, llegamos a

d(y,x) \leq d(y,y)+d(x,y) = d(x,y).

La doble desigualdad implica que d(x,y) = d(y,x) y así (ii) implica (b).

Sean cierto (i) y (ii), entonces haciendo x=y, vemos que

d(x,x) \leq d(x,z)+d(x,z),

es decir, 2d(x,z) \geq 0 y de aquí d(x,z) \geq 0. Esto significa que la aplicación d da siempre resultados positivos o nulos y en consecuencia, se cumple (a). Finalmente, (i) y (ii) implican (b) y (b) junto con (ii) implica (d).