El método de los buenos conjuntos

Como paso previo a la demostración del teorema de las clases monótonas se suele utilizar el resultado de que si \mathcal{R} es un anillo (álgebra) sobre un conjunto X, la clase monótona generada por dicho anillo \mathcal{M}(\mathcal{R}) es también un anillo (álgebra). En la prueba de este enunciado se ejemplifica de manera muy interesante el método llamado de “los buenos conjuntos”.  Veamos la demostración.

Todo anillo contiene al conjunto vacío por lo que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es una clase no vacía. Para probar que dicha clase es un anillo utilizaremos el método de los buenos conjuntos. Empezaremos definiendo la clase
\mathcal{U} =\{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
(donde A' designa el complementario de A). Esta clase contiene al anillo \mathcal{R} y si (A_{n})_{n} es una sucesión monótona creciente de elementos de \mathcal{U}, entonces \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), y la sucesión (A'_{n})_{n} será decreciente y estará formada también por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) por lo que
(\bigcup_{n} A_{n})' = \bigcap_{n} A_{n}' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Si consideramos una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{U}, el resultado es análogo. Esto significa que \mathcal{U} es una clase monótona que incluye a \mathcal{R} por lo que \mathcal{U}=\mathcal{M} (\mathcal{R}) y la clase monótona es cerrada para el paso al complementario. Sea la clase
\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall B \in \mathcal{R} \}.
Probaremos que es una clase monótona. En primer lugar, \mathcal{R} \subset \mathcal{E}, pues el anillo es cerrado para la unión finita. Sea (A_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{E}. Entonces, \cup_{n} A_{n} pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (A_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) y también es creciente por lo que
\bigcup_{n} (A_{n} \cup B) = (\bigcup_{n} A_{n})\cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Es decir, \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{E}. Para el caso de una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{E}, es \cap_{n} B_{n} un elemento de \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (B_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, también es decreciente y está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}), luego
\bigcap_{n}(B_{n} \cup B) = (\bigcap_{n} B_{n}) \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
En consecuencia, \cap_{n} B_{n} \in \mathcal{E}. Eso prueba que \mathcal{E} es clase monótona y, por su definición, \mathcal{E} = \mathcal{M}(\mathcal{R}). Para acabar, definimos la clase
\mathcal{D} = \{ B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}): A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
Entonces, por lo demostrado para la clase \mathcal{E}, se tiene que \mathcal{R} \subset \mathcal{D}. Sólo nos restará probar que es una clase monótona. Sea (B_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{D}. Por definición, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}). La sucesión ( A \cup B_{n})_{n}, para A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), será también creciente y además

\bigcup_{n} (B_{n} \cup A) = (\bigcup_{n} B_{n}) \cup A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Es decir, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{D}. Para el caso de una sucesión decreciente, la prueba es análoga. Como \mathcal{D} es una clase monótona que contiene a \mathcal{R} y está contenida en \mathcal{M}(\mathcal{R}), concluimos que \mathcal{D} = \mathcal{M}(\mathcal{R}) y \mathcal{M}(\mathcal{R}) es cerrada para la unión. Esto era lo que nos restaba para probar que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es un anillo.
En el caso de que el punto de partida sea un álgebra el resultado es análogo pues sólo faltaría comprobar que el conjunto X pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}). Pero esto es inmediato, pues si \mathcal{R} es un álgebra, entonces X \in \mathcal{R} \subset \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Anuncios

Todo abierto de topología usual de la recta real es unión numerable de intervalos abiertos disjuntos

Me he dado cuenta de que este resultado es muy importante en el desarrollo de ciertos problemas por lo que merece una demostración.

Sea A un abierto de la topología usual en \mathbb{R}. Si A es vacío podemos escribir A= (a,a) con a un número real cualquiera y el enunciado se verifica de forma trivial. Sea A no vacío. Es evidente que dado x \in A, existe al menos un \epsilon >0, tal que x \in (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A. Los conjuntos L=\{ a \in \overline{\mathbb{R}} : (a,x) \subset A \}, \quad U =\{b \in \overline{\mathbb{R}} : (x,b) \subset A \} son no vacíos, pues a=x-\epsilon \in L y b=x+\epsilon \in U. Además al considerar que están formados por elementos de la recta ampliada podemos obtener \inf L y \sup U (si L está acotado inferiormente, el valor del ínfimo será real y si no lo está será - \infty. Para el caso de U si está acotado superiormente, el valor será real y si no lo está será +\infty). Con ellos formamos el intervalo abierto I_{x} = (\inf L, \sup U ).

Si suponemos que existe otro intervalo abierto J tal que I_{x} \subset J \subset A, entonces, por definición de I_{x}, habrá de ser I_{x}=J. Se dice entonces que I_{x} es un intervalo componente. Consideremos la colección \{I_{x} : x \in A \} de los intervalos componentes. Es claro que A = \cup_{x \in A} I_{x}. Esta unión es disjunta ya que si x e y son elementos de A y z \in I_{x} \cap I_{y}, entonces
z \in I_{x} \subset I_{x} \cup I_{y} \subset A.
Pero I_{x} \cup I_{y} es un intervalo abierto (al ser su intersección no vacía) y, en consecuencia, I_{x} = I_{x} \cup I_{y}. Análogamente, se prueba que I_{y} = I_{x} \cup I_{y}. Por tanto, I_{x} = I_{y}. Finalmente, consideremos el conjunto \mathbb{Q} de los números racionales en la forma
\mathbb{Q}= \{q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}, \ldots \}
En cada intervalo componente I_{x} de A habrá números racionales. La aplicación f: \{I_{x} : x \in A \} \rightarrow \mathbb{N}, definida por
f(I_{x}) = \min \{n \in \mathbb{N} : q_{n} \in I_{x} \}
es inyectiva, ya que si f(I_{x}) = f(I_{y}) entonces existe un racional q que pertenece a ambos intervalos y al ser éstos disjuntos concluimos que I_{x} = I_{y}. Por tanto,
|\{I_{x} : x \in A \}| \leq |\mathbb{N}|
y la unión es numerable.

Una demostración sobre sigma-álgebras generadas e imágenes inversas.

Sean X e Y dos conjuntos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación entre ellos. Si \mathcal{C} es una clase no vacía de partes de Y, tratamos de demostrar que la sigma-álgebra generada por la clase de las imágenes inversas de \mathcal{C} coincide con la imagen inversa de la sigma-álgebra generada por la clase \mathcal{C}. En símbolos

\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).

Sabemos que \mathcal{C} \subset \sigma(\mathcal{C}). Por tanto,
f^{-1}(\mathcal{C}) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))
Ahora bien, sabemos que f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) es una sigma-álgebra. Así que
\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).
Para probar la inclusión recíproca vamos a utilizar el método de los “conjuntos buenos”. Definimos la clase
\mathcal{M} = \{ B \in \sigma(\mathcal{C}) : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \}.
Como Y \in \sigma(\mathcal{C}) y f^{-1}(Y) = X \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), la clase \mathcal{M} es no vacía. Además si C pertenece a \mathcal{C}, tenemos que f^{-1} (C) \in f^{-1}(\mathcal{C}) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})). Por tanto, \mathcal{C} \subset \mathcal{M}. Sea B perteneciente a  \mathcal{M}. Entonces f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), de donde
f^{-1}(Y-B) = X-f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))
Esto prueba que Y-B pertenece a \mathcal{M}. Por otro lado, si (B_{n})_{n} es una familia numerable de elementos de \mathcal{M}, la familia (f^{-1}(B_{n}))_{n} es numerable y está formada por elementos de \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})). Esto significa que \cup_{n} B_{n} \in \sigma(\mathcal{C}) y también
f^{-1}(\cup_{n} B_{n}) = \cup_{n} f^{-1}(B_{n}) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})).
Hemos probado que \mathcal{M} es una sigma-álgebra por lo que \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{M}. Pero, por definición, es \mathcal{M} \subset \sigma(\mathcal{C}). La doble inclusión lleva a la igualdad y así podemos afirmar que
f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})),
lo que era nuestro objetivo al definir la clase \mathcal{M}. Esto termina la demostración.

Más sobre anillos de conjuntos

Me surgió un problema relativo al carácter del producto cartesiano de anillos de conjuntos. Como no daba con la clave consulté en el estupendo foro del rincón matemático y Tanius fue muy amable al darme un contraejemplo.  Esta es la argumentación que he podido pergeñar:

Sean \mathcal{R}_{1} y \mathcal{R}_{2} anillos sobre X e Y, respectivamente. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2}, ¿es un anillo sobre X \times Y?
Todo anillo es semianillo por lo que es claro que \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} es un semianillo y contendrá al vacío y será cerrado para la intersección finita. Sin embargo, no siempre es un anillo como podemos ver mediante un contraejemplo. Sean
\mathcal{R}_{1} = \{ \emptyset,\{1\}, \mathbb{N}-\{1 \}, \mathbb{N} \},
\mathcal{R}_{2} = \{ \emptyset,\{2\}, \mathbb{N}-\{2 \}, \mathbb{N} \}.
Ambas clases son anillos sobre los naturales. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} contiene a los conjuntos (\mathbb{N}- \{1\}) \times (\mathbb{N} -\{2 \}) y \{(1,2) \}. Pero su unión es
A= (\{2,3, \ldots, n, \ldots \} \times \{1,3,4, \ldots, m, \ldots, \}) \cup \{(1,2) \}
Veamos que tal unión no pertenece al producto cartesiano de las clases. Los elementos de \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} son

\emptyset, \{(1,2)\}, \{1\} \times (\mathbb{N}- \{2\}), \{1\} \times \mathbb{N}, (\mathbb{N}-\{1\}) \times \{2\},
(\mathbb{N}-\{1\}) \times (\mathbb{N}-\{2\}), (\mathbb{N}-\{1\})\times \mathbb{N}, \mathbb{N} \times \{2\}, \mathbb{N} \times (\mathbb{N}- \{2\}),\mathbb{N} \times \mathbb{N}.

Pero el conjunto A no es ninguno de ellos como el lector puede comprobar. Así pues, el producto cartesiano de anillos (o de álgebras) no es siempre un anillo (o álgebra).

Demostración sobre producto cartesiano de semianillos de conjuntos

Sea X un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos de X es un semianillo sobre X si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y además la diferencia de dos cualesquiera de los elementos de la colección resulta expresable mediante unión finita y disjunta de elementos de la misma colección.

Si queremos probar que dados \mathcal{S}_{1}, semianillo sobre X y \mathcal{S}_{2} semianillo sobre Y, su producto cartesiano

\mathcal{S}_{1} \times \mathcal{S}_{2} = \{ A \times B: A \in \mathcal{S}_{1}, B \in \mathcal{S}_{2} \} ,

es un semianillo sobre X \times Y, necesitamos hacer uso de una interesante propiedad de la diferencia de productos cartesianos. En concreto, necesitaremos probar que para A, C \in X y B,D \in Y, se tiene que

(A \times B)-(C \times D) = (A \times (B-D)) \cup ((A-C) \times B) .

He encontrado una interesante demostración en Proof Wiki.

Sobre la definición de conjunto infinito

La definición clásica de conjunto infinito es sencilla: un conjunto es infinito cuando no es finito. Es claro que llegado a este punto, la pregunta inmediata que nos hacemos es, ¿cuándo un conjunto es finito? Pues también existe una definición clásica y es la siguiente.

Un conjunto A es finito si es vacío o existe un subconjunto  S(n)= \{1,2, \ldots, n \} de \mathbb{N} y una biyección f  de A en S(n).

Sin embargo, existe otra definición menos conocida pero muy interesante atribuida a Dedekind:

Un conjunto A se dice que es finito tipo Dedekind o D-finito si no es posible encontrar ninguna biyección entre el conjunto A y cualquiera de sus subconjuntos propios. En caso contrario, se dirá que es infinito tipo Dedekind o D-infinito.

Utilizando la propiedad de buena ordenación de los naturales podemos probar que todo conjunto finito es D-finito.  Sin embargo, la única prueba que conozco de la equivalencia de que todo conjunto infinito es D-infinito precisa del axioma de elección.

Sobre cardinales de conjuntos

Estoy resolviendo algunas cuestiones del texto “Selected Problems in Real Analysis” (Makarov, Goluzina, Lodkin, Podkorytov, Ed. AMS) y me he obligado a repasar conceptos y demostraciones que daba por hechas. Sobre todo demostraciones de cardinalidad y teoría de conjuntos. Por ejemplo, la demostración de que \mathbb{N}^{2} es equipotente a \mathbb{N}. Para ello existe una forma elegante utilizando el método diagonal de Cantor y una forma “menos elegante” utilizando el teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein. Voy a pergeñar la segunda.

Consideremos la aplicación f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} dada por f(n,m) = 2^{n}3^{m}. Es claro que se trata de una aplicación inyectiva pues si

2^{n} 3^{m} = 2^{n'} 3^{m'},

entonces

2^{n-n'}= 3^{m'-m}

lo que sólo es posible si n-n'=m'-m=0. Por tanto, el cardinal de \mathbb{N} \times \mathbb{N} es menor o igual que el de \mathbb{N}. Por otro lado, la aplicación

g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N}

dada por

g(n)=(n,0)

es trivialmente inyectiva. En consecuencia, el cardinal de \mathbb{N} es menor igual que el de \mathbb{N} \times \mathbb{N}.  Aplicando, teorema de Cantor-Schröder-Bernstein ambos cardinales son iguales.