Álgebra

Anillos ordenados (I)

Recordemos que un anillo A es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones, que convenimos en notar como suma y producto y que verifican

a) (A,+) es un grupo abeliano.

b) (A, \cdot) es un semigrupo

c) Para todos x,y,z \in A es x \cdot (y+z) = x \cdot y+x \cdot z y también (x+y) \cdot z = x \cdot z+ y \cdot z

El neutro del grupo (A,+) se nota por 0. Si el semigrupo (A, \cdot) es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo y si (A, \cdot) tiene neutro decimos que el anillo es unitario y dicho neutro se nota por 1. Generalmente, prescindimos del símbolo “\cdot” para el producto y usamos la yuxtaposición. Esto es, escribimos xy en lugar de x \cdot y.

Si existe una relación \leq de orden (parcial o total) en un anillo conmutativo A, decimos que dicha relación es compatible con las operaciones del anillo si y sólo si

i) (A,+) es un grupo ordenado.

ii) Para todos x,y \in A, tales que x \geq 0, y \geq 0, es xy \geq 0.

En lugar de hablar de órden compatible con la estructura de anillo decimos simplemente que el anillo es ordenado. Si A es un anillo ordenado podemos definir el cono positivo de la misma forma que hacíamos para los grupos ordenados:

P = \{ x \in A : x \geq 0 \}.

Es fácil probar que en un anillo ordenado, el cono positivo P así definido, verifica:

a) 0 \in P.

b)P+P \subset P.

c) P \cap (-P) = \{0 \}.

d) P P \subset P.

Las propiedades a,b y c ya se demostraron en una entrada anterior y la propiedad d se deduce de la definición de anillo ordenado. En efecto, si x,y son elementos de P, entonces x \geq 0 e y \geq 0. Por tanto, aplicando ii) es xy \geq 0 y esto significa que xy \in P, luego P P \subset P.

Se puede probar que el cono positivo es unívoco para cada orden. Esto es, que podemos caracterizar a los anillos ordenados mediante dichos subconjuntos. En particular,

Teorema: Si A es un anillo conmutativo, son equivalentes:

1. El anillo A está totalmente ordenado.

2. Existe un subconjunto P de A, que verifica: 0 \in P, P+P \subset P, P \cap (-P) = \{0 \}, P P \subset P y P \cup (-P) = A.

Probaremos este y otros interesantes resultados en una entrada posterior.

Referencias: Wikipedia 1, Wikipedia 2

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Álgebra

Orden y operaciones

Sea X un conjunto no vacío y sea \star una operación definida en dicho conjunto. Decimos entonces que el par (X, \star) es un magma. Si tenemos además definida una relación de orden \leq en X, decimos que el par (X, \leq) es un conjunto ordenado. En muchas ocasiones resulta interesante y productivo relacionar ambas estructuras. Esto se consigue, en general, haciendo que el orden sea invariante por traslaciones. Es decir, si z es un elemento de X, y las aplicaciónes

f_z: X \rightarrow X,

g_z: X \rightarrow X,

dadas por f(x) = x \star z y g(x) = z \star x son, respectivamente, traslaciones por la derecha y la izquierda, entonces dados cualesquiera x,y,z de X, tales que x \leq y, se han de cumplir

f_z(x) \leq f_z(y),

g_z(x) \leq g_z(y).

En ese caso decimos que (X, \star, \leq) es un magma ordenado.

Álgebra

Espacios vectoriales sobre cuerpos de característica igual a 2

Repasando la definición de espacio vectorial me asaltó la duda de si han de describirse siempre utilizando cuerpos de característica cero o  este no es un requisito imprescindible. Para llegar a una conclusión práctica me plantee un ejemplo: ¿qué pasaría si un grupo (E,+) se define como espacio vectorial sobre un cuerpo (K,+, ) de característica p =2. Pero antes de todo esto, ¿qué es la característica de un cuerpo y qué nos indica?. Vamos a intentar explicar estos conceptos. En primer lugar, un cuerpo es un conjunto K con dos operaciones que convenimos en llamar suma y multiplicación y en denotar con los símbolos usuales, respecto a las cuales cumple las condiciones siguientes:

a) (K,+) es un grupo conmutativo con neutro que denotamos como 0 (o sea cero) .

b) (K- \{0 \}, ) es un grupo cuyo elemento neutro denotamos por 1 (o sea uno).

c) El producto es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, para cualesquiera x, y,z de K se cumple x(y+z) = xy+xz y también (x+y)z = xz+yz.

En el caso de que el grupo multiplicativo (K-\{0 \}, ) sea conmutativo se dice que el cuerpo es conmutativo.  Por la definición de cuerpo vemos que 0 \neq 1 ya que el neutro multiplicativo 1 pertenece a K- \{0 \}.  Ahora podemos considerar qué ocurre si sumamos el uno consigo mismo varias veces. Esto es, si n es un entero positivo, ¿cómo denotamos la suma

1+1+1+ \ldots +1, (n veces).

Pues la forma más sencilla es utilizar precisamente los enteros positivos. Así pues convenimos en que

1+1+1+ \ldots +1 = n \cdot 1.

Esto se puede generalizar para cualquier elemento de K. Así pues

x+x+x \ldots +x (n veces)  = n\cdot x.

Podemos probar fácilmente que si n,m son enteros positivos y x pertenece a K es

a) (n+m) x = nx +mx,

b) (nm)x = n(mx).

Obsérvese que hemos prescindido del punto siguiendo un abuso de notación que facilita la escritura y resulta “natural”. Llegados a este punto definimos la característica de car(K) mediante

car(K) = 0, si \{ n \in \mathbb{Z}^{+} : n 1 = 0 \} es vacío,

car(K) = \min \{ n \in \mathbb{Z}^{+} : n 1 = 0 \}, en otro caso.

Es decir, la característica es cero si la suma 1+1+ \ldots + 1 no da nunca cero para cualquier número n de sumandos y si la suma da cero para un número n de sumandos, se busca el menor p con esta propiedad y se dice que p es la característica. El principio de la buena ordenación garantiza la existencia de este mínimo.  Se puede probar fácilmente que la característica de un cuerpo ha de ser un número primo. Bastará utilizar la propiedad (b) y el hecho de que un cuerpo es un dominio de integridad (esto es, si un producto xy es nulo entonces algunoo ambos de sus factores x o y son nulos).

Ahora sea E un K-espacio vectorial y sea car(K) =2, entonces

1+1 = 0.

Pero como (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x, 0 x = 01 x = x para cualesquiera \alpha, \beta de K y para cualquier x \in E, se tiene que

0 = 0x = (1+1) x = 1 x + 1 x = x +x.

Es decir

x+x = 0.

Esto significa que al sumar dos elementos iguales cualesquiera del grupo (E,+) se obtiene el cero, o lo que es lo mismo

x = -x

y cada elemento es su propio opuesto.  Esto es interesante pues nos lleva a considerar ciertas cuestiones de teoría de grupos (que no trataremos ahora).  Lo que está claro es que el comportamiento de este espacio vectorial resultaría cuando menos “extraño” pues se dan igualdades como

\lambda (x+x+x) = \lambda x.

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Estructuras algebraicas (Anillos)

Consideremos un conjunto no vacío A, dotado de dos operaciones que convenimos en llamar suma y producto y en simbolizarlas como tales, aunque su naturaleza no sea la de las operaciones aritméticas usuales. Decimos que A es un anillo si respecto a la suma es un grupo conmutativo, respecto al producto es un semigrupo y el producto es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, si para cualesquiera x,y,z \in A es

(x+y)+z = x+(y+z) ,

x+y=y+x , y también

x(yz) = (xy)z ;

existe un elemento 0 \in A tal que

x+0 = 0+x = x para todo x \in A;

dado x \in A siempre es posible hallar y \in A tal que

x+y = y+x = 0 ,

y finalmente se cumple que

x(y+z) = xy+xz y (x+y)z = xz + yz .

En cualquier anillo se precisa de la existencia de un cero (neutro aditivo). Por tanto, si tomamos un conjunto unitario A = \{a \} y definimos en él dos operaciones como a+ a = a y a a = a , tendremos trivialmente un anillo donde el único elemento ( a) hace el papel del cero. Un ejemplo más interesante de anillo es el de los números enteros \mathbb{Z}= \{ \cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , \cdots \} con la suma y el producto aritméticos. Dentro de los anillos podemos aplicar las reglas de cálculo habituales. Por ejemplo, si A es un anillo y  x, y, z son elementos de dicho anillo, tenemos

(x -y ) z = xz -yz

Entendiendo que -y representa al opuesto de y . La demostración de esta última desigualdad resulta clarificadora pues nos muestra los procesos sutiles con los que hemos de trabajar en álgebra abstracta. En efecto, tomamos (x-y) z + y z y aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, la propiedad asociativa de la suma y la existencia de neutro aditivo, para obtener

(x-y) z + y z  = ((x-y) + y) z = (x+ (-y+y))z = (x+0) z = xz

Ahora sólo restaría sumar a ambos miembros el opuesto de yz para llegar a la igualdad pedida

(x-y) z + y z -yz = xz -yz

(x-y)z = xz -yz

El lector observará el especial cuidado con el que se han de usar las propiedades establecidas en el anillo y, sobre todo, cómo ha de evitarse la tentación de “abreviar” inspirándose en la familiaridad de los símbolos.

Si un anillo A tiene elemento neutro para el producto se llama anillo unitario. Dicho neutro multiplicativo se suele notar como 1_{A} , o simplemente 1 si no hay confusión. Para evitar trivialidades supondremos que en un anillo unitario hay al menos dos elementos diferentes: el uno y el cero.  Cuando el producto es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo. La teoría de anillos es una rama del álgebra de profundas y extensas implicaciones. En próximas entradas intentaremos mostrar algunas ideas más sobre esta estructura.

Referencias:

Wikipedia (castellano)

Anillos y Cuerpos Conmutativos, José M. Gamboa, Jesús M. Ruíz, Cuadernos de la Uned

Wikipedia (inglés)

Álgebra, Roger Godement, Ed. Tecnos

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Orden y operaciones (1)

Las estructuras de orden junto con las topológicas y algebraicas son fundamentales en todo el corpus matemático. En muchas ocasiones se enriquecen y necesitan unas a otras. Por ejemplo, existen topologías compatibles con el álgebra de los espacios vectoriales, órdenes que inducen topologías, etc.  En esta serie de entradas nos vamos a centrar en órdenes compatibles con estrucuturas algebraicas. Es decir, vamos a partir de un conjunto no vacío G donde hay definida una o varias operaciones y un orden. Trataremos de ver cómo es posible relacionar ambos conceptos y obtener de dicha relación una rica cosecha de resultados interesantes y extremadamente útiles.

En primer lugar, sea G un conjunto dotado de un orden parcial \leq y de una operación \bot. Como sabemos la operación no es más que una aplicación

f: G \times G \rightarrow G

que notamos mediante x \bot y en lugar de f(x,y). Por tanto, la compatibilidad con el orden más evidente sería exigir que para todos x,y \in G tales x \leq y y para todo z \in G se cumplan

(i) f(z,x) \leq f(z,y)

(ii) f(x,z) \leq f(y,z).

En otros términos que al operar por la izquierda o por la derecha con z cada uno de los miembros de la relación, ésta se conserva:

(a) zx \bot zy

(b) xz \bot yz .

Por ejemplo si (G, \bot) es un grupo y \leq una relación de orden en G, entonces exigiendo (a) y (b), obtenemos un grupo ordenado que notaremos por (G, \bot, \leq). No nos interesa considerar operaciones no conmutativas ya que cualquier desarrollo por la izquierda deberá tener su correspondiente por la derecha por pura simetría y resultaría farragoso además de poco práctico ya que la mayoría de estructuras con las que trabajaremos son conmutativas. Sea pues (G,+) un grupo abeliano. Decimos que es ordenado respecto a \leq si para todos x,y \in G tales que x \leq y y para todo z \in G es

x+z \leq y+z.

El lector observará que la notación para una operación conmutativa en un grupo es la de la suma (aunque la naturaleza de tal operación no sea la suma usual). Este convenio es muy útil y no induce a ningún error. Acabamos aquí este artículo. En el próximo daremos una condición equivalente a la de orden compatible con una estructura de grupo abeliano.

Para ampliar:

Wikipedia

Planet Math

Wikibooks

“Teoría de Clases y Conjuntos”, Marío de J. Pérez-Jiménez, Editorial EDUNSA.

“Groupes et Anneaux Réticulés”, A. Bigard, K. Keimel, S. Wolfenstein, SPRINGER-VERLAG.