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La insoportable levedad del infinito

El concepto del infinito está presente en la matemática casi desde su comienzo. Pero no hemos de equivocarnos, no se trata de el “infinito” en un sentido filosófico pleno, sino de “un” o “unos” infinitos perfectamente delimitados y “domesticados”. De nada vale hacer disquisiciones sobre el infinito en matemáticas si no se entiende qué son y cómo se definen estos “infinitos”. Seguramente, el lector pensará en el conjunto de los números naturales como primer ejemplo de conjunto infinito. Esto es casi cierto. En realidad, el conjunto de los números naturales es el ejemplo más claro de conjunto inductivo y es justamente la existencia de conjuntos inductivos algo que no podemos probar sino creer, es decir, se establece como axioma. Veamos con detalle cómo se hace dentro de la teoría de NBG (Neumann-Bernays-Gödel). Sea \mathcal{A} una clase, se dice que la clase S(\mathcal{A})=\mathcal{A} \cup \{ \mathcal{A} \} es la clase siguiente de \mathcal{A}. Los diversos axiomas de esta teoría nos permiten garantizar que la clase siguiente de un conjunto es también un conjunto. Esto nos da pie a otra definición:

Una clase \mathcal{C} es inductiva si contiene al conjunto vacío y para todo conjunto x \in \mathcal{C} el conjunto siguiente s(x) también un elemento de \mathcal{C}.

Veamos con detalle esta definición. Estamos diciendo que una clase es inductiva si el conjunto vacío es uno de sus elementos y siempre que otro conjunto x sea elemento suyo, podemos asegurar que S(x) también lo es. Aquí está el “germen” del infinito, en el hecho de tener “siempre” (si nos ponemos a pensar esta palabra es muy especial) la posibilidad de añadir elemento tras elemento sin nunca terminar. Si tomamos la clase
\mathcal{S} =\{ \mathcal{C} : \mathcal{C} \quad \text{es inductivo} \quad \}
de todos los conjuntos inductivos, ¿es o no vacía? Es decir, ¿existe algún conjunto inductivo? Pues bien, no lo podemos asegurar, hemos de dar un axioma:

Existe al menos un conjunto inductivo

El lector se preguntará…¿dónde están los naturales? Pues es bien sencillo. Una vez hemos considerado no vacía la clase de todos los conjuntos inductivos, definimos el conjunto de los naturales como la intersección de todos los conjuntos de dicha clase. Esto es:
\mathbb{N} = \cap_{\mathcal{C} \in \mathcal{S}} \mathcal{C}. Esta intersección (o gran intersección) existe en virtud de otro axioma de NBG. Ahora, hacemos lo siguiente, identificamos el 0 con \emptyset, el 1 con el siguiente de \emptyset (1 = \emptyset \cup \{ \emptyset \}) y así sucesivamente y ya tenemos los naturales \{0, 1,2 ,3, \cdots  \}, (he incluido el cero dentro de los naturales siguiendo un consenso establecido pero lo mismo podría haber empezado por 1 o por el que hubiera querido, al fin y al cabo, lo que los distingue es su carácter inductivo y eso no depende del símbolo usado). Los puntos suspensivos aquí tienen el carácter de indicarnos que esto no acaba, que al ser inductivo hay un siguiente al 3 y un siguiente al siguiente al 3 y así sucesivamente. Reflexionemos un poco. Ya tenemos un conjunto que es infinito en un sentido determinado y que además nos parece bastante “razonable”. Pero, ¿realmente existe este conjunto? No puedo dar una respuesta. Para mí, existe en el universo de las matemáticas y esa existencia está justificada en él. Para el lector quizás no existe nada más que en la mente de los matemáticos..pero ¿qué hay algo fuera de nuestra mente? Eso es otra gran pregunta.

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Un ejemplo práctico de resolución de ecuación recíproca de grado cuatro

Las ecuaciones recíprocas son aquellas ecuaciones polinómicas que tienen una raíz junto con su inversa o recíproca (ver anterior post). Si el grado es impar vimos que una de sus raíces ha de ser 1 o -1 lo que facilita la reducción a un grado par. Por ello es interesante ejemplificar el procedimiento de resolución para grado par. Utilizaremos una ecuación de grado cuatro para no alargar nuestros desarrollos, pero las ideas empleadas son generales.

Sea la ecuación 2 x^{4}-9 x^{3}+14 x^{2}-9 x +2 = 0. Dicha ecuación es recíproca pues vemos que tiene los coeficientes equidistantes iguales y del mismo signo. Nuestro primer paso es dividir ambos miembros de la ecuación por x^{2}. Obtenemos

2 x^{2}-9 x + 14 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^{2}} = 0.

Agrupamos términos equidistantes

2(x^{2}+ \frac{1}{x^{2}})- 9 (x + \frac{1}{x}) +14 = 0.

Hacemos el cambio de variable z = x + \frac{1}{x} y sustituimos

2(z^{2} -2) -9 z +14 = 0.

Simplificamos

2z^{2} -9z + 10 =0.

Llegamos a una ecuación de segundo grado en z con soluciones

z = 2, \frac{5}{2}.

Sustituimos estos valores en la expresión del cambio de variable para obtener dos ecuaciones de segundo grado

2 x^{2} -5 x +2 =0,

x^{2}-2x+1 =0.

La primera de ellas tiene por soluciones x=2,\frac{1}{2} y la segunda tiene una raíz doble x =1. Obsérvese que, como esperábamos, las soluciones son cuatro, inversas entre sí:

x = 1, 1, x =2, \frac{1}{2}.

El lector puede comprobar que son correctas utilizando wolframalpha

Pensando sobre Cantor y las diagonales

Leyendo sobre el método diagonal de Cantor se me ha ocurrido repasar en qué consiste y cuándo se puede utilizar. En primer lugar, observo que la mayoría de las demostraciones en las que se usa este método son por reducción al absurdo. Es decir, probamos algo viendo que es imposible su negación. Este tipo de razonamiento es suficientemente conocido y sólo cuestionado por una minoría. Al fin y al cabo se trata de una exigencia lógica al suponer cierto el principio del tercio excluso. En segundo lugar, observo que se usa sobre todo para conjuntos infinitos. Pero eso no significa que sea imposible usarlo para conjuntos finitos. Por ejemplo, consideremos el conjunto de signos binarios \{0,1 \} y formemos con ellos todas las cadenas de tres elementos. Resultarán
000
001
010
011
100
101
110
111
En total 8 posibilidades que representan los números en notación decimal 0,1,2,3,4,5,6,7, respectivamente. Ahora vamos a construir una cadena tomando como primer dígito uno distinto del primer dígito del primer elemento, como segundo dígito uno distinto del segundo dígito del segundo elemento y como tercer dígito uno distinto del tercer dígito del tercer elemento. Es decir 111. Esta cadena está en la lista pero no se halla entre las tres primeras (es la octava). Así pues, con dos dígitos, el método de Cantor nos permite construir una cadena de tres elementos que no se halla entre las tres primeras (o sea que hay más de tres cadenas). Probemos con longitudes mayores. Por ejemplo, cadenas de cinco elementos
00000
00001
00010
00011
00100
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100,
etcétera. Como tenemos cadenas de cinco elementos vamos a formar una nueva cadena de cinco elementos que tenga el primer dígito distinto del primer dígito de la primera cadena, el segundo distinto del segundo dígito de la segunda cadena y así sucesivamente, resulta 11101 que es una cadena de cinco elementos que no se halla entre las cinco primeras. Generalizando, podemos probar que con los dígitos \{0,1 \} el número de cadenas que se pueden formar de n elementos es siempre mayor que n. Obsérvese que sólo he demostrado un hecho trivial que podría haberse demostrado de otra manera y que en absoluto he probado nada que tenga que ver con un conjunto infinito. Además para hacer la prueba he tomado una representación homogénea y no ambigüa de cierto conjunto finito de naturales. Es decir, una representación donde cada número tenía asociada una y sólo una cadena, el número de dígitos siempre era el mismo y se podía construir una diagonal. Vamos a extender ahora el razonamiento para un conjunto infinito. ¿Qué pasa si intento representar todos los naturales utilizando cadenas de ceros y unos? Supongamos que lo hago utilizando cadenas infinitas numerables de la forma \cdots x_{n} \cdots x_{2} x_{1} ,
donde los x_{i} son cero o uno. Esto me llevaría al viejo problema de las series infinitas. Para evitar paradojas debería en realidad escribir
\sum_{i=1}^{\infty} 2^{x_{i}}
donde los x_{i} son cero o uno. ¿Converge siempre esta serie? La respuesta es no. Basta con tomar, por ejemplo, x_{i}=1 para n>3. Así pues, no es correcto usar este tipo de representación pues da lugar a elementos no naturales. Convenimos entonces en representar los naturales en forma binaria mediante cadenas de longitud variable, pero ¿qué longitud? Por ejemplo, ¿usamos
0
01
0010
0011
100
o usamos
0
1
10
11
100 ?
En ninguno de los dos casos podemos utilizar el argumento diagonal de Cantor pues al fin y al cabo no tenemos una representación única de la que se pueda extraer una diagonal. Y eso es lo importante del método: la existencia de una representación homogénea única y la posibilidad de tomar una diagonal en esa representación. Resumiendo, la inexistencia de representación homogénea y unívoca de los naturales mediante ceros y unos me impide aplicarles el método diagonal de Cantor. Veamos ahora la clásica demostración sobre la no numerabilidad de los elementos del intervalo ]0,1[. Supongamos que cada elemento de dicho intervalo se escribe en la forma de una lista numerable de dígitos
0, x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \cdots ....
donde cada x_{i} un elemento del conjunto \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} y no existe ninguno de ellos con una infinidad de nueves (esto se hace así para evitar situaciones del tipo 0,299999…= 0,30000….). Esta representación es unívoca y homogénea. Por tanto, si suponemos que el conjunto de los puntos de ]0,1[ es numerable lo podremos poner en forma de sucesión
0, x_{11} x_{12} \cdots x_{1n} \cdots
0, x_{21} x_{22} \cdots x_{2n} \cdots
\cdots
0, x_{m1} x_{m2} \cdots x_{mn} \cdots
\cdots
Tomando ahora y= 0, u_{1} u_{2} \cdots, u_{m} \cdots con u_{1} \neq x_{11}, u_{2} \neq x_{22}, u_{m} \neq x_{mm} tenemos un elemento que no está en la lista. Para evitar esta contradicción, el intervalo ]0,1[ no puede ser numerable.