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Sobre libros que mueren y resucitan en Internet

En muchas ocasiones los estudiantes reciben bibliografía para ampliar o consultar temas sobre una asignatura particular. Y también en muchas ocasiones algunos textos (o todos) de estas bibliografías son prácticamente imposibles de conseguir. Por ejemplo, en la asignatura “Análisis Matemático V” de la U.N.E.D. se recomendaba el texto “Integración: Teoría y Técnicas” de Miguel de Guzmán y Baldomero Rubio, editado por Alhambra.  Nunca lo encontré disponible. Es un libro que murió. Murió porque su editorial murió o porque no había una cantidad suficiente de lectores para que fuera rentable reimprimirlo o una combinación de ambas cosas.

Al final recurrí a buscarlo por la red y lo encontré en algunas páginas. Así que el libro “resucitó”, al menos digitalmente. Como soy de la vieja escuela me hubiera gustado tenerlo físicamente pero al menos así se puede consultar. Por cierto, ahora se encuentra en scribd.

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Nueva página de Apuntes en Internet

Retomando la búsqueda de material por Internet que sea de utilidad para estudiantes de matemáticas he decidido añadir una página más al menú principal. En ella iré poniendo poco a poco los materiales que vaya encontrando. Así que será siempre un lugar ” en construcción”. La podéis encontrar desde ya mismo en dicho menú con el nombre “Apuntes en Internet”.

Nueva cara

He decidido centralizar todos los dominios que poseo y redirigirlos a esta página. Este blog personal será mi ventana a la red. La antigua página de matematicas.net  (ver los enlaces) seguirá existiendo pero a partir de ahora el consultorio y las exposiciones de temas matemáticos se responderán vía correo o bien vía entrada de este blog.

Sumas según leyes de Pascal y el infinito

Consideremos una sucesión finita de n+1 números naturales:

d_{0}, d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}

Podemos formar una nueva sucesión finita mediante la siguiente regla:

s_{0} =d_{0}
s_{k} =d_{k}+d_{k-1}, para k=1,2, \cdots, n
s_{n+1} = d_{n}

Es decir, si partimos de n+1 números obtendremos un total de n+2 números en la siguiente sucesión. Si representamos por P(d_{n}) a la sucesión que se obtiene de aplicar la regla anterior, diremos que s_{n} = P(d_{n}) es la sucesión suma según ley de Pascal de d_{n}. Es evidente que el operador P se puede reiterar indefinidamente. Es decir, podemos obtener

P(P(d_{n})), P(P(P(d_{n}))), P(P(P(P(d_{n})))), \cdots

Cada nueva sucesión tiene un elemento más que la anterior (pero todas son finitas). Un ejemplo de este tipo de proceso lo tenemos en el conocido triángulo de Pascal (o de Tartaglia). Para construirlo partimos de una sucesión d_{n} con un sólo elemento:
d_{0}=1,
aplicamos el operador P
s_{0}=d_{0}=1, s_{1}=d_{0}=1,
de nuevo aplicamos P
t_{0} = s_{0}=1, t_{1} = s_{0}+s_{1} = 1 +1 =2, t_{2}=s_{1}=1,
y así sucesivamente. Para facilitar los cálculos se suelen disponer los números al “tresbolillo”. Es decir
Triángulo de Pascal
Como el lector seguramente conoce, estos números del triángulo de Pascal son los coeficientes del binomio de Newton y además pueden expresarse en forma de números combinatorios. Existen muchísimas más propiedades en este aparantemente sencillo triángulo (ver aquí) pero no las mencionaremos de momento. Sólo nos interesa ver una curiosidad de las sucesiones obtenidas según esta ley de Pascal. Supongamos que tenemos una sucesión infinita de números naturales formada por un número finito de valores diferentes de cero. Esto es, todos los términos de la sucesión son ceros menos un número finito. Por ejemplo, la sucesión formada sólo por ceros:

0, 0, 0, 0, \cdots, 0, 0, \cdots

o la sucesión

0, 1, 1, 0, 0, 0, \cdots, 0, 0, \cdots

donde el segundo y el tercer término son unos, son sucesiones de este tipo. ¿Qué ocurre si aplicamos el operador P a este tipo de sucesiones? En primer lugar, habrá que modificar la ley en la forma

s_{0} =d_{0}

s_{k} =d_{k}+d_{k-1} para k=1,2, \cdots,

para considerar sucesiones infinitas (pues no tienen un último término). Veamos ahora un ejemplo. Sea la sucesión d_{n} dada por

0, 0, 0, 1, 0, 0, \cdots

Entonces

P(d_{n})=0, 0, 0, 1, 1, 0, 0 , \cdots

P^{2}(d_{n})=P(P(d_{n}))= 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, \cdots

Si seguimos reiterando y colocamos las distintas sucesiones al “tresbolillo”, obtenemos el triángulo de Pascal “inmerso” en una matriz infinita. ¿Qué ocurrirá con otras sucesiones de este tipo? Claramente, la existencia de cualquier valor no nulo hará que esta “anomalía” se propague en la siguiente sucesión y dé lugar a sucesiones cada vez menos enrarecidas. Sin embargo, todas ellas seguirán teniendo una infinidad de ceros y un número finito de valores no nulos. La prueba de esta afirmación es sencilla y la dejamos al cuidado del lector.