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Se acabó el intento de un nuevo foro

Tras llenarse de spam y ver como apenas se utilizaba, he decidido dar de baja el dorminio foromates.es y el foro asociado al mismo.

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Nuevo Foro de Matemáticas

Después de comentar la evolución de la lista de matracas
matematicas.net/paraiso/lista.php
con mis compañeros hemos decidido iniciar un “experimento” y complementar la lista con un foro. En dicho foro se intenta brindar de una forma más organizada el mismo servicio que hacemos con las listas. De momento está en fase “beta” pero ya es operativo. He integrado la notación de LaTeX (la cual le sonará a muchos de los integrantes de esta lista) en la escritura de los mensajes. Esto junto con la posibilidad futura de añadir gráficos y multimedia me parece que “enriquecerá” la experiencia de los consultores y los consultantes. Estáis todos invitados a dicho foro y espero vuestros comentarios.
La dirección es
www.matracas.zobyhost.com
Saludos

Estructuras algebraicas (Anillos)

Consideremos un conjunto no vacío A, dotado de dos operaciones que convenimos en llamar suma y producto y en simbolizarlas como tales, aunque su naturaleza no sea la de las operaciones aritméticas usuales. Decimos que A es un anillo si respecto a la suma es un grupo conmutativo, respecto al producto es un semigrupo y el producto es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, si para cualesquiera x,y,z \in A es

(x+y)+z = x+(y+z) ,

x+y=y+x , y también

x(yz) = (xy)z ;

existe un elemento 0 \in A tal que

x+0 = 0+x = x para todo x \in A;

dado x \in A siempre es posible hallar y \in A tal que

x+y = y+x = 0 ,

y finalmente se cumple que

x(y+z) = xy+xz y (x+y)z = xz + yz .

En cualquier anillo se precisa de la existencia de un cero (neutro aditivo). Por tanto, si tomamos un conjunto unitario A = \{a \} y definimos en él dos operaciones como a+ a = a y a a = a , tendremos trivialmente un anillo donde el único elemento ( a) hace el papel del cero. Un ejemplo más interesante de anillo es el de los números enteros \mathbb{Z}= \{ \cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , \cdots \} con la suma y el producto aritméticos. Dentro de los anillos podemos aplicar las reglas de cálculo habituales. Por ejemplo, si A es un anillo y  x, y, z son elementos de dicho anillo, tenemos

(x -y ) z = xz -yz

Entendiendo que -y representa al opuesto de y . La demostración de esta última desigualdad resulta clarificadora pues nos muestra los procesos sutiles con los que hemos de trabajar en álgebra abstracta. En efecto, tomamos (x-y) z + y z y aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, la propiedad asociativa de la suma y la existencia de neutro aditivo, para obtener

(x-y) z + y z  = ((x-y) + y) z = (x+ (-y+y))z = (x+0) z = xz

Ahora sólo restaría sumar a ambos miembros el opuesto de yz para llegar a la igualdad pedida

(x-y) z + y z -yz = xz -yz

(x-y)z = xz -yz

El lector observará el especial cuidado con el que se han de usar las propiedades establecidas en el anillo y, sobre todo, cómo ha de evitarse la tentación de “abreviar” inspirándose en la familiaridad de los símbolos.

Si un anillo A tiene elemento neutro para el producto se llama anillo unitario. Dicho neutro multiplicativo se suele notar como 1_{A} , o simplemente 1 si no hay confusión. Para evitar trivialidades supondremos que en un anillo unitario hay al menos dos elementos diferentes: el uno y el cero.  Cuando el producto es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo. La teoría de anillos es una rama del álgebra de profundas y extensas implicaciones. En próximas entradas intentaremos mostrar algunas ideas más sobre esta estructura.

Referencias:

Wikipedia (castellano)

Anillos y Cuerpos Conmutativos, José M. Gamboa, Jesús M. Ruíz, Cuadernos de la Uned

Wikipedia (inglés)

Álgebra, Roger Godement, Ed. Tecnos

Orden y operaciones (1)

Las estructuras de orden junto con las topológicas y algebraicas son fundamentales en todo el corpus matemático. En muchas ocasiones se enriquecen y necesitan unas a otras. Por ejemplo, existen topologías compatibles con el álgebra de los espacios vectoriales, órdenes que inducen topologías, etc.  En esta serie de entradas nos vamos a centrar en órdenes compatibles con estrucuturas algebraicas. Es decir, vamos a partir de un conjunto no vacío G donde hay definida una o varias operaciones y un orden. Trataremos de ver cómo es posible relacionar ambos conceptos y obtener de dicha relación una rica cosecha de resultados interesantes y extremadamente útiles.

En primer lugar, sea G un conjunto dotado de un orden parcial \leq y de una operación \bot. Como sabemos la operación no es más que una aplicación

f: G \times G \rightarrow G

que notamos mediante x \bot y en lugar de f(x,y). Por tanto, la compatibilidad con el orden más evidente sería exigir que para todos x,y \in G tales x \leq y y para todo z \in G se cumplan

(i) f(z,x) \leq f(z,y)

(ii) f(x,z) \leq f(y,z).

En otros términos que al operar por la izquierda o por la derecha con z cada uno de los miembros de la relación, ésta se conserva:

(a) zx \bot zy

(b) xz \bot yz .

Por ejemplo si (G, \bot) es un grupo y \leq una relación de orden en G, entonces exigiendo (a) y (b), obtenemos un grupo ordenado que notaremos por (G, \bot, \leq). No nos interesa considerar operaciones no conmutativas ya que cualquier desarrollo por la izquierda deberá tener su correspondiente por la derecha por pura simetría y resultaría farragoso además de poco práctico ya que la mayoría de estructuras con las que trabajaremos son conmutativas. Sea pues (G,+) un grupo abeliano. Decimos que es ordenado respecto a \leq si para todos x,y \in G tales que x \leq y y para todo z \in G es

x+z \leq y+z.

El lector observará que la notación para una operación conmutativa en un grupo es la de la suma (aunque la naturaleza de tal operación no sea la suma usual). Este convenio es muy útil y no induce a ningún error. Acabamos aquí este artículo. En el próximo daremos una condición equivalente a la de orden compatible con una estructura de grupo abeliano.

Para ampliar:

Wikipedia

Planet Math

Wikibooks

“Teoría de Clases y Conjuntos”, Marío de J. Pérez-Jiménez, Editorial EDUNSA.

“Groupes et Anneaux Réticulés”, A. Bigard, K. Keimel, S. Wolfenstein, SPRINGER-VERLAG.