Estructuras de conjuntos pi-estables (1)

Sea X un conjunto dado y sea \mathcal{R} una clase no vacía de partes de X con una estructura. Decimos que dicha clase tiene una estructura \pi-estable si la intersección de cualquier familia de clases con dicha estructura da lugar a una clase con la misma estructura. Por ejemplo, consideremos un anillo de conjuntos sobre X. Dicha estructura se caracteriza por ser cerrada para la unión de un número finito de sus elementos y para la diferencia de dos cualesquiera de ellos. Además todo anillo contiene al conjunto vacío. Por tanto, si (\mathcal{R}_i)_{i \in I} es una familia de anillos sobre X podemos garantizar que su intersección

\cap_{i \in I} \mathcal{R}_i

es no vacía pues contiene al vacío. Pero además de ser no vacía resulta que también es un anillo sobre X. La demostración de este hecho es sencilla. Por tanto, la estructura de anillo es \pi-estable. También son \pi-estables las álgebras, los \sigma-anillos, las \sigma-álgebras,  etc., pero no son \pi-estables los semianillos, los \pi-sistemas y las clases monótonas. ¿Por qué es deseable la propiedad de \pi-estabilidad? Pues sencillamente porque así podemos garantizar que para una clase no vacía cualquiera (con o sin estructura previa) siempre existe una estructura \pi-estable que la contiene y que además es mínima con esta propiedad de inclusión.

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Estructura de los anillos de Boole generados por una clase no vacía

Supongamos que \mathcal{M} es una clase no vacía de partes de un conjunto X. Denotamos por \mathcal{R}(\mathcal{M}) al anillo de Boole generado por dicha clase. Sabemos que dicho anillo siempre existe y es el mínimo en sentido inclusivo que contiene a la clase \mathcal{M}, pero ¿podemos dar alguna caracterización de cómo se forma? En principio, si la clase \mathcal{M} es un semianillo, sabemos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) es el conjunto de las uniones finitas disjuntas de elementos de  \mathcal{M} pero me temo que en el caso general no hay una forma clara de obtenerlo. El siguiente resultado esboza una forma que admito que no es muy práctica pero puede ser útil para algunos casos.

Sea la clase no vacía  \mathcal{M}. Llamaremos H_0 a dicha clase y supondremos que \emptyset \in H_0.  La clase H_1 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_0, la clase H_2 es el conjunto de las uniones finitas de diferencias de elementos de H_1 y así sucesivamente. Obtenemos pues una sucesión recurrente H_n de clases. Como H_0 es no vacía. Dado A \in H_0 es A-\emptyset = A un elemento de H_1. Análogamente, si B es un elemento de H_1, entonces B-\emptyset = B \in H_2 y así H_0 \subset H_1 \subset H_2. En general,

H_0 \subset H_1 \subset H_2 \subset \ldots \subset H_n \subset H_{n+1} \subset \ldots .

Probaremos que la unión

S = \cup_{n=0}^{\infty} H_n

es el anillo generado por \mathcal{M}. En primer lugar, es claro que

\mathcal{M} \subset \cup_{n=0}^{\infty} H_n \subset \mathcal{R} (\mathcal{M}),

pues por definición H_0 = \mathcal{M} y además todo anillo es cerrado para la unión finita y la diferencia de sus elementos. En segundo lugar, si C y D son elementos de S, hallaremos que pertenecen a ciertos H_j y H_k de la sucesión creciente. Por tanto, si r = \max \{j,k \} , ambos pertenecerán a H_{ r }. En consecuencia,

C-D \in H_{r+1} \subset S,

C \cup D = (C- \emptyset) \cup (D- \emptyset) \in H_{r+1} \subset S.

Esto prueba que S es cerrado para la diferencia y la unión finita y, por tanto, es un anillo. Así pues

\mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset S

y esta inclusión junto con la anterior nos muestra que

\mathcal{R}(\mathcal{M}) = S.

Sobre semianillos de conjuntos y operaciones finitas

Una clase o familia de partes de un conjunto X es un semianillo si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y la diferencia de dos de sus elementos se puede expresar como unión finita disjunta de elementos de la misma clase. Un ejemplo de semianillo muy utilizado es el de la clase de los intervalos de la recta real de la forma

]a,b],

donde a y b son números reales con a \leq b. Otro ejemplo de semianillo es el de los intervalos

[a,b[

y también es un semianillo la clase de todos los intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, vacíos, acotados, no acotados, etc.). Sin embargo, la clase

\mathcal{C} = \{ [a,b] : a \leq b \} \cup \emptyset

no es un semianillo. Basta ver que si a < c <b < d, entonces

[a,b]-[c,d] = [a,c[

y [a,c[ no puede expresarse como unión finita y disjunta de intervalos cerrados. Sin embargo, sí puede expresarse como unión numerable de intervalos cerrados aunque no disjunta. Basta observar que

\cup_{n=1}^{\infty} [a, c-\frac{1}{n}] = [a,c[.

Yendo un paso más allá podríamos preguntarnos si es posible encontrar una sucesión disjunta de intervalos cerrados cuya unión fuera el intervalo [a,c[.

Curioso ejercicio de límites superior e inferior

Sabemos que los números racionales de la recta real forman un conjunto numerable. Por ello existe una enumeración en la forma \mathbb{Q} = \{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots \}. Es importante saber que tal enumeración no implica una ordenación x_{1} < x_{2}< \ldots <x_{n} < \ldots . Tan sólo es el resultado de una aplicación biyectiva f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}. El siguiente ejercicio es una cuestión de límites superior e inferior de conjuntos pero en su resolución se ha tenido en cuenta este hecho. Se trata de considerar la sucesión de intervalos de la recta real dada por

A_{n} =(x_{n}-1, x_{n}+1), n=1,2, \ldots,

donde x_{n} es el enésimo racional de una enumeración de los racionales. Se nos pide el límite superior e inferior de dicha sucesión.

Supongamos que x pertenece al límite inferior de la sucesión (A_{n})_{n}, entonces x pertenece a todos los elementos de la sucesión, excepto quizás a un número finito de ellos. Es decir, hallaremos un n_{0} tal que x \in A_{n} si n \geq n_{0}. Teniendo en cuenta la definición de la sucesión, esto significa que

x_{n}-1 < x < x_{n}+1 si n \geq n_{0}.

De manera equivalente

|x-x_{n}| <1, para todo n \geq n_{0}.

Ahora es cuando hay que tener cuidado con lo que significa considerar la enumeración de los racionales de n_{0} en adelante. La primera consecuencia de la desigualdad anterior es que

|x_{n}-x_{n_{0}}| = |x_{n}-x+x-x_{n_{0}}| \leq |x_{n}-x|+|x-x_{n_{0}}| <2,

si n es mayor que n_{0}. Lo que nos lleva a que \{x_{n_{0}}, x_{n_{0}+1}, \ldots, x_{m}, \ldots \} \subset (x_{n_{0}}-2, x_{n_{0}}+2). Esto es, todos los racionales, menos un número finito de ellos se hallan en un entorno de radio 2 del racional x_{0}. Pero esto es absurdo pues sabemos que hay una infinidad de racionales en cualquier intervalo no vacío de la recta real. Así pues, \lim \inf A_{n} = \emptyset. Veamos ahora el caso del límite superior. Si x pertenece a \lim \sup A_{n} entonces se hallará en una infinidad de A_{n}. Por ejemplo,  podemos ver que cualquier x real que cumpla

\frac{1}{n}-1 < x < \frac{1}{n}+1, para todo n,

pertenece a \lim \sup A_{n} pues se halla en una infinidad de conjuntos de la forma (x_{n}-1, x_{n}+1), con x_{n} racional. El lector puede comprobar con la siguiente figura que (0,1) \subset \lim \sup A_{n}.

Imagen

Es fácil ver que “trasladando” esta argumentación podemos “cubrir” toda la recta real. Por ejemplo, si sumamos \frac{1}{2}, resulta

\frac{1}{2}+\frac{1}{n}-1 <x < \frac{1}{2} + \frac{1}{n}+1, para todo n,

Luego es (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \subset \lim \sup A_{n}. Por tanto, \lim \sup A_{n} = \mathbb{R}.

Un caso de convergencia de series de funciones indicadoras

En el caso de una sucesión de subconjuntos disjuntos (A_{n})_{n} de un conjunto X podemos garantizar la igualdad:

\chi_{\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}}.

Debemos demostrar que para cada x \in X, la serie
\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}}(x).
converge a \chi_{\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}}(x). Sabemos que
\chi_{\cup_{n=1}^{\infty} A_{n}}(x) = \sup \{ \chi_{A_{n}}(x) : n \in \mathbb{N} \}.
Si x pertenece a \cup_{n=1}^{\infty} A_{n}, entonces x pertenece a uno y sólo uno de los conjuntos A_{n} (ya que la sucesión es disjunta). Sea x \in A_{r}. Entonces
\chi_{A_{k}}(x) = 0, \quad \text{si} \quad k \neq r,
pero
\chi_{A_{r}}(x) = 1
Por tanto,
\sup \{ \chi_{A_{n}}(x) : n \in \mathbb{N} \}= \sup \{0,1 \} = 1.
Por otro lado,
\sum_{k=1}^{r-1} \chi_{A_{k}} (x) = 0,
mientras que
\sum_{k=1}^{s} \chi_{A_{k}} (x) = 1, \quad \text{si} \quad s \geq r.
En consecuencia,
\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}} (x) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n}\chi_{A_{k}}(x) = 1.
Para acabar, si x \notin \cup_{n=1}^{\infty} A_{n}, entonces x \notin A_{n} para todo n y de aquí
\sup \{ \chi_{A_{n}}(x) : n \in \mathbb{N} \}= \sup \{0\} = 0,
y también
\sum_{k=1}^{n} \chi_{A_{k}} (x) = 0, \quad \text{para todo} \quad n.
Por ello
\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_{n}} (x) = \lim_{n} \sum_{k=1}^{n}\chi_{A_{k}}(x) = 0.
Esto termina la demostración.

Sucesiones disjuntas de conjuntos y convergencia.

Una sucesión (A_{n})_{n} de subconjuntos de un conjunto X, se dice que es convergente si coinciden sus límites inferior y superior. Recordemos que tales límites se pueden definir mediante operaciones conjuntistas:

\lim \inf A_{n} = \cup_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty} A_{k}),

\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty}A_{k}).

 Vamos a probar que cuando la sucesión está formada por conjuntos disjuntos converge y lo hace al conjunto vacío.

Sea (A_{n})_{n} una sucesión disjunta de partes de X. Definimos la sucesión
D_{n} =\cup_{k=n}^{\infty} A_{k}.
Sabemos que esta sucesión D_{n} es decreciente por su misma construcción y que \lim \sup A_{n} = \lim D_{n}= \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}. Probaremos que esta intersección es vacía. Supongamos que x \in \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}, entonces x \in D_{1} y hallaremos i \geq 1, tal que x \in A_{i}, pero también x \in D_{i+1}, lo que implica que existe A_{j} con j > i para el que x \in A_{j}. Esto contradice el carácter disjunto de la sucesión (A_{n})_{n} y por tanto, la intersección es vacía. Es decir,
\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty} D_{n} = \emptyset
Como \lim \inf A_{n} \subset \lim \sup A_{n}, también es \lim \inf A_{n} = \emptyset. Al coincidir límite superior e inferior, la sucesión disjunta es convergente al vacío.

El método de los buenos conjuntos

Como paso previo a la demostración del teorema de las clases monótonas se suele utilizar el resultado de que si \mathcal{R} es un anillo (álgebra) sobre un conjunto X, la clase monótona generada por dicho anillo \mathcal{M}(\mathcal{R}) es también un anillo (álgebra). En la prueba de este enunciado se ejemplifica de manera muy interesante el método llamado de “los buenos conjuntos”.  Veamos la demostración.

Todo anillo contiene al conjunto vacío por lo que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es una clase no vacía. Para probar que dicha clase es un anillo utilizaremos el método de los buenos conjuntos. Empezaremos definiendo la clase
\mathcal{U} =\{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
(donde A' designa el complementario de A). Esta clase contiene al anillo \mathcal{R} y si (A_{n})_{n} es una sucesión monótona creciente de elementos de \mathcal{U}, entonces \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), y la sucesión (A'_{n})_{n} será decreciente y estará formada también por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) por lo que
(\bigcup_{n} A_{n})' = \bigcap_{n} A_{n}' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Si consideramos una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{U}, el resultado es análogo. Esto significa que \mathcal{U} es una clase monótona que incluye a \mathcal{R} por lo que \mathcal{U}=\mathcal{M} (\mathcal{R}) y la clase monótona es cerrada para el paso al complementario. Sea la clase
\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall B \in \mathcal{R} \}.
Probaremos que es una clase monótona. En primer lugar, \mathcal{R} \subset \mathcal{E}, pues el anillo es cerrado para la unión finita. Sea (A_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{E}. Entonces, \cup_{n} A_{n} pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (A_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) y también es creciente por lo que
\bigcup_{n} (A_{n} \cup B) = (\bigcup_{n} A_{n})\cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Es decir, \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{E}. Para el caso de una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{E}, es \cap_{n} B_{n} un elemento de \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (B_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, también es decreciente y está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}), luego
\bigcap_{n}(B_{n} \cup B) = (\bigcap_{n} B_{n}) \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
En consecuencia, \cap_{n} B_{n} \in \mathcal{E}. Eso prueba que \mathcal{E} es clase monótona y, por su definición, \mathcal{E} = \mathcal{M}(\mathcal{R}). Para acabar, definimos la clase
\mathcal{D} = \{ B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}): A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
Entonces, por lo demostrado para la clase \mathcal{E}, se tiene que \mathcal{R} \subset \mathcal{D}. Sólo nos restará probar que es una clase monótona. Sea (B_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{D}. Por definición, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}). La sucesión ( A \cup B_{n})_{n}, para A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), será también creciente y además

\bigcup_{n} (B_{n} \cup A) = (\bigcup_{n} B_{n}) \cup A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Es decir, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{D}. Para el caso de una sucesión decreciente, la prueba es análoga. Como \mathcal{D} es una clase monótona que contiene a \mathcal{R} y está contenida en \mathcal{M}(\mathcal{R}), concluimos que \mathcal{D} = \mathcal{M}(\mathcal{R}) y \mathcal{M}(\mathcal{R}) es cerrada para la unión. Esto era lo que nos restaba para probar que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es un anillo.
En el caso de que el punto de partida sea un álgebra el resultado es análogo pues sólo faltaría comprobar que el conjunto X pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}). Pero esto es inmediato, pues si \mathcal{R} es un álgebra, entonces X \in \mathcal{R} \subset \mathcal{M}(\mathcal{R}).