Lectura 1. Funciones de conjunto, contenidos, premedidas y medidas

Consideremos un conjunto no vacío \Omega  y sea \mathcal{A} una clase no vacía de partes de \Omega. Toda aplicación

f: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}

se denomina función de conjunto. Recordemos que \overline{\mathbb{R}} es la recta real ampliada. En general, nos van a interesar funciones de conjunto no negativas. Esto es, funciones de conjunto cuyos valores sean mayores o iguales que cero. Sea pues,

\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty]

una función de conjunto no negativa, diremos que \mu es

  • monótona, si para todos A,B \in \mathcal{A}, tales que A \subset B, es \mu(A) \leq \mu(B),
  • finitamente aditiva (o aditiva), si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A} es \mu (\biguplus_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu (A_i),
  • numerablemente aditiva (\sigma-aditiva), si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, disjuntos dos a dos y tales que \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}, se tiene que \mu(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n),
  • finitamente subaditiva, si para cualquier colección A_1, A_2, \ldots, A_n, de elementos de \mathcal{A} con \cup_{i=1}^{n} A_i \in \mathcal{A}, es \mu ( \cup_{i=1}^{n} A_i) \leq \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i),
  • numerablemente subaditiva, si para cualquier sucesión (A_n)_{n=1}^{\infty} de elementos de \mathcal{A}, tales que \cup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A} es \mu(\cup_{n=1}^{\infty}A_n )\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Obsérvese que salvo la condición de monotonía, el resto de condiciones exige el cierre para las uniones (unas veces finitas y otras infinito numerables). Como sabemos, la estructura de anillo de conjuntos es la adecuada para garantizar al menos el cierre para la unión finita. Por ello resultaría natural exigir que la clase a la que se aplica la función de conjunto no negativa sea al menos un anillo. En muchos textos se hace así pero si queremos una mayor generalidad podemos usar la estructura de semianillo.  Además, también es conveniente exigir que la función de conjunto definida sobre el semianillo verifique \mu (\emptyset) = 0 (recordemos que el vacío es elemento de todo semianillo). Así pues, si \mathcal{A} es un semianillo sobre \Omega, diremos que una función de conjunto \mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,+\infty] , es

  • un contenido, si \mu es finitamente aditiva,
  • una premedida, si \mu es numerablemente aditiva,
  • una medida, si \mu es una premedida y \mathcal{A} es una \sigma-álgebra (o un \sigma-anillo),
  • una medida de probabilidad, si \mu es una medida sobre una \sigma-álgebra y \mu(\Omega) = 1.
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Álgebra generada por una clase no vacía

Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{M} una clase no vacía de partes de X. Probaremos el siguiente resultado.

Teorema
Definimos las clases
\mathcal{M}_1 = \{ \emptyset, X \} \cup \mathcal{M} \cup \{ A^c : A \in \mathcal{M} \},

\mathcal{M}_2 = \pi(\mathcal{M}_1)= \{B: B=\cap_{i=1}^{n} A_i : A_i \in \mathcal{M}_1 \},

\mathcal{M}_3 = \{C: C=\cup_{j=1}^{m} B_j : B_j \in \mathcal{M}_2 \}.

Entonces \mathcal{M}_3 es el álgebra generada por \mathcal{M}.

Demostración.

Por construcción es \mathcal{M} \subset \mathcal{M}_1 \subset \mathcal{M}_2 \subset \mathcal{M}_3. Sea \mathcal{A} un álgebra que incluye a \mathcal{M}, entonces incluirá al conjunto vacío, al propio X y a los complementarios de los elementos de \mathcal{M}. Así pues

\mathcal{M}_1 \subset \mathcal{A}.
Pero toda álgebra es un \pi-sistema por lo que incluirá a las intersecciones finitas de sus elementos y así concluiremos que

\mathcal{M}_2 \subset \mathcal{A}.

Finalmente, sabemos que toda álgebra es cerrada para las uniones finitas de sus elementos por lo que

\mathcal{M}_3 \subset \mathcal{A}.

Sólo nos resta probar que \mathcal{M}_3 es un álgebra. Sean C_1 y C_2 elementos de \mathcal{M}_3, entonces

C_1 = \cup_{i=1}^{n} B_i, \quad C_2 = \cup_{j=1}^{m} D_j,

donde B_i y D_j son elementos de \mathcal{M}_2. Tenemos

C_1 \cap C_2 = (\cup_{i=1}^{n} B_i) \cap (\cup_{j=1}^{m} D_j) = \cup \{ B_i \cap D_j, i=1, \ldots, n, j=1, \ldots, m \}.

Pero como B_i \cap D_j \in \mathcal{M}_2, para i=1, \dots, n, j=1, \ldots, m, se sigue que C_1 \cap C_2 es un elemento de \mathcal{M}_3. Por otro lado, sea B = \cap_{i=1}^{r}A_i un elemento de \mathcal{M}_2, entonces

B^c = ( \cap_{i=1}^{r} A_i)^c = \cup_{i=1}^{r}A_i^c.

Esto significa que B^c \in \mathcal{M}_3. Finalmente, si C = \cup_{j=1}^{n} B_j es un elemento de \mathcal{M}_3 tenemos

C^c = (\cup_{j=1}^{n} B_j)^c = \cap_{j=1}^{n} B_j^c

y como cada B_j^c pertenece a \mathcal{M}_3 y esta clase es cerrada para la intersección concluimos que C^c es también un elemento de \mathcal{M}_3. Esto prueba que dicha clase es un anillo y como X \in \mathcal{M}_3, será un álgebra.

Comentarios

En primer lugar, hemos usado el hecho de que el álgebra generada por una clase es la intersección de todas las álgebras que la contienen por lo que si \mathcal{M}_3 es un álgebra incluida en todas las que incluyen a \mathcal{M} es obvio que coincide con la intersección de estas.

Ejercicios de Teoría de la Medida (3)

6. Sea \mathcal{M} una clase no vacía de subconjuntos de X y \mathcal{R}((\mathcal{M}) el anillo engendrado por \mathcal{M}. Demostrar que si A \in \mathcal{R}(\mathcal{M}), existen M_1, M_2, \ldots, M_n \in \mathcal{M} tales que A \subset \cup_{k=1}^{n} M_k.

Solución: El anillo engendrado por una clase de partes de X es el menor anillo (en sentido inclusivo) que contiene a dicha clase. Es decir, si \mathcal{R} es un anillo cualquiera sobre X que verifica \mathcal{M} \subset \mathcal{R}, entonces \mathcal{M} \subset \mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset \mathcal{R}. Consideremos ahora la clase \mathcal{S} formada por aquellos elementos de de \mathcal{R}(\mathcal{M}) que pueden recubrirse con un número finito de elementos de \mathcal{M}. Es decir, si A pertenece a \mathcal{S}, hallaremos M_1,M_2, \ldots, M_n \in \mathcal{M}, de forma que

A \subset \cup_{k=1}^{n} M_k.

Es inmediato que \mathcal{M} \subset \mathcal{S}. Probaremos que es un anillo sobre X. En efecto, si A y B son elementos de \mathcal{S} entonces existen recubrimientos finitos de A y B formados por elementos de \mathcal{M} por lo que la unión A \cup B se puede recubrir con la unión de los recubrimientos respectivos y tal unión tiene un número finito de elementos. Lo mismo ocurre con el conjunto A-B que al ser parte de A se puede recubrir con el número finito de conjuntos que recubren A.

Al ser \mathcal{S} un anillo que incluye a \mathcal{M} concluimos que \mathcal{R}(\mathcal{M}) \subset \mathcal{S} por lo que \mathcal{S} = \mathcal{R}(\mathcal{M}) y esto prueba la condición buscada.

7. Sea X un conjunto no vacío y sea \mathcal{P} una clase de partes de X tal que si A,B \in \mathcal{P} entonces A \cup B y A \cap B pertenecen a \mathcal{P}. ¿Es \mathcal{P} un anillo sobre X?

Solución: En general no. Vamos a dar un contraejemplo. Sea X = \mathbb{R} y sea

\mathcal{P} = \{ \emptyset, \{0,1\}, \{0,1,2 \} \}.

Es fácil ver que la intersección y la unión de elementos de esta clase también pertenece a la misma clase (observemos que sus elementos se pueden disponer en una “cadena” por lo que las intersecciones serán los elementos inferiores y las uniones los superiores). Sin embargo, la diferencia

\{0,1,2 \}-\{0,1\} = \{2 \}

no pertenece a \mathcal{P}.

8. Dar un ejemplo de un anillo que no sea álgebra ni \sigma-anillo.

Solución: Sea X un conjunto infinito y sea \mathcal{R} la clase de las partes finitas de X. Dicha clase es no vacía pues el vacío es una parte finita de X por lo que \emptyset \in \mathcal{R}. Además como la unión de partes finitas es una parte finita y la diferencia de partes finitas también es una parte finita, concluimos que \mathcal{R} es un anillo sobre X. Sin embargo, no es un álgebra pues como X es infinito se sigue que X no pertenece a dicho anillo (y como sabemos un álgebra sobre X no es más que un anillo que contiene a X). Tampoco es un \sigma-anillo pues no es cerrado para la unión numerable. En efecto, sea N un subconjunto numerable de X (el cual existe en virtud del carácter infinito de X). Escribimos

N = \{x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots \}

La sucesión de conjuntos (\{x_i \})_{i=1}^{\infty} está formada por elementos de \mathcal{R} pero su unión es N y N no pertenece a \mathcal{R}.

Ejercicios de Teoría de la Medida (2)

4. Sea \mathcal{R} una clase de subconjuntos de X, tal que E, F \in \mathcal{R} implica que E \cup F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución:
Bastará comprobar que

E \cap F = (E \cup F) \Delta (E \Delta F).

En efecto, podemos usar el método de las funciones características (que en este caso es bastante largo pero efectivo) para comprobar la igualdad y una vez comprobada basta recordar el resultado del problema 3 de la entrada (1) de ejercicios.

5. Demostrar que el conjunto de todas las partes de X es un anillo algebraico con las operaciones de diferencia simétrica e intersección.
Solución: En primer lugar, el conjunto \mathcal{P}(X) de las partes de X es cerrado para dichas operaciones. Debemos probar que respecto a la diferencia simétrica es un grupo, respecto a la intersección es un semigrupo y la intersección es distributiva respecto a la diferencia simétrica por ambos lados. Recordemos que la diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B se define como

A \Delta B = (A \cup B)- (A \cap B) = (A-B) \cup (B-A).

Sean A,B y C tres subconjuntos de X, probaremos que la diferencia simétrica es asociativa utilizando las funciones características.

\chi_{A \Delta (B \Delta C)} = \chi_{A}+\chi_{B \Delta C}-2 \chi_{A} \chi_{B \Delta C}=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 (\chi_A (\chi_B+\chi_C - 2 \chi_B \chi_C))=
\chi_{A}+\chi_B + \chi_C-2 \chi_B  \chi_C -2 \chi_A \chi_B -2 \chi_A \chi_C +4 \chi_A \chi_B \chi_C =
\chi_{A}+\chi_B -2 \chi_A \chi_B + \chi_C -2 \chi_C (\chi_A +\chi_B -2 \chi_A \chi_B)= \chi_{A \Delta B}+ \chi_{C} -2 \chi_{C} \chi_{A \Delta B} = \chi_{(A \Delta B)\Delta C} .

Esto prueba que la diferencia simétrica es asociativa. También es conmutativa pues

\chi_{A \Delta B} = \chi_A + \chi_B - 2 \chi_A \chi_B = \chi_B+ \chi_A +2 \chi_B \chi_A = \chi_{B \Delta A}.

El elemento neutro de la diferencia simétrica es el vacío pues

A \Delta \emptyset = (A- \emptyset) \cup (\emptyset -A) = A.

Aquí hemos empleado la definición pues resulta más cómodo. Finalmente, cada A subconjunto de X verifica
A \Delta A = (A-A) \cup (A-A) = \emptyset
por lo que es su propio simétrico. En definitiva, (\mathcal{P}(X), \Delta) es un grupo abeliano con neutro \emptyset.
La asociatividad de la intersección es inmediata, además resulta una operación conmutativa y tiene por neutro al conjunto X. Finalmente,

\chi_{A  \cap (B \Delta C)} = \chi_{A} \chi_{B \Delta C} = \chi_{A} (\chi_B +\chi_C - 2 \chi_B \chi_C) =
\chi_A \chi_B + \chi_A \chi_C - 2(\chi_A \chi_B)(\chi_A \chi_C) = \chi_{(A \cap B) \Delta (A \cap C)}.

Deberíamos probar también que (A \Delta B) \cap C = (A \cap C) \Delta (B \cap C) pero al ser conmutativa la intersección no es necesario.

Ejercicios de Teoría de la Medida (1)

1. Sean E y F dos conjuntos. Probar que

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F).

Solución: Tenemos dos opciones. Podemos probarlo en base en las definiciones de las operaciones conjuntistas o podemos usar las funciones características. Recordemos que la función característica \chi_A de un subconjunto A de X es una función real que tiene el valor 1 si x \in A y el valor cero si x \notin A. Además sabemos que dos funciones características \chi_A y \chi_B son iguales si y sólo si los conjuntos A y B son iguales y conocemos las igualdades básicas:

\chi_{A}^2 = \chi_{A},

\chi_{A \cup B} = \chi_{A}+\chi_{B} - \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A \cap B} = \chi_{A} \chi_{B},

\chi_{A - B} = \chi_{A}(1- \chi_{B}).

Por lo que un pequeño cálculo nos lleva a

\chi_{E \Delta F} = \chi_{E}+\chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}.

Pasamos a la prueba en cuestión. Vamos ver qué resulta de

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)}.

Sólo hemos de desarrollar y el proceso es algo tedioso pero nos lleva a buen puerto:

\chi_{(E \Delta F) \Delta (E \cap F)} = \chi_{E \Delta F} + \chi_{E \cap F}                    - 2 \chi_{E \Delta F} \chi_{E \cap F} =
(\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})+\chi_{E} \chi_{F}- 2((\chi_{E} +\chi_{F}-2 \chi_{E} \chi_{F})(\chi_{E} \chi_{F}))=
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E}^2 \chi_{F}+\chi_{E} \chi_{F}^2-2 \chi_{E}^2 \chi_{R}^2) =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 (\chi_{E} \chi_{F} +\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F})= \chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} -2 \cdot 0 =
\chi_{E} +\chi_{F}- \chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E \cup F}

2. Demostrar que

E - F = E \Delta (E \cap F).

Solución: Vamos a emplear el método de las funciones características. En este caso

\chi_{E \Delta (E \cap F)} = \chi_{E} +\chi_{E \cap F} - 2 \chi_{E} \chi_{E \cap F} =
\chi_{E} + \chi_{E} \chi_{F}- 2 ( \chi_{E} (\chi_{E} \chi_{F})) =
\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} - 2 \chi_{E}^2 \chi_{F} =\chi_{E}+\chi_{E} \chi_{F} -2 \chi_{E} \chi_{F}=
\chi_{E}-\chi_{E} \chi_{F} = \chi_{E} (1-\chi_{F}) = \chi_{E-F}.

3. Sea \mathcal{R} una clase no vacía de subconjuntos de X, tales que E,F \in \mathcal{R} implica que E \cap F y E \Delta F pertenecen a \mathcal{R}. Demostrar que \mathcal{R} es un anillo sobre X.
Solución: Recordemos que un anillo de subconjuntos de X es una clase no vacía de subconjuntos de X cerrada para la unión y la diferencia de cada par de sus elementos. Por tanto, bastará hacer uso de los resultados de los problemas anteriores pues,si E,F \in \mathcal{R}, entonces

E \cup F = (E \Delta F) \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R},

E - F = E \Delta (E \cap F) \in \mathcal{R}.

Estructuras de Dynkin

Consideremos un conjunto no vacío X y sea \mathcal{D} una familia no vacía de subconjuntos de X. Decimos que \mathcal{D} es un \lambda-sistema o un sistema de Dynkin si verifica:

(a) X pertenece a \mathcal{D}.
(b) Si A es un elemento de \mathcal{D}, su complementario X-A también pertenece a \mathcal{D}.
(c) \mathcal{D} es cerrado para la unión numerable disjunta de sus elementos.

Precisemos un poco más la condición (c). Si A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots es una sucesión de elementos pertenecientes a \mathcal{D} y tales que A_i \cap A_j = \emptyset para cada i \neq j, su unión \cup_{i=1}^{\infty} A_i es lo que llamamos una unión disjunta.

Si \mathcal{D} es un sistema de Dynkin sobre X, se tiene que \emptyset = X-X \in \mathcal{D}. Por lo tanto, todo sistema de Dynkin contiene al conjunto vacío y es fácil ver que obtenemos una definición equivalente si cambiamos X por \emptyset en la condición (a).

También podemos probar que todo sistema de Dynkin es cerrado para la diferencia propia. Esto es, si A y B son elementos de un sistema de Dynkin \mathcal{D} y tales que A \subset B, entonces B-A también es un elemento del mismo sistema. En efecto, el conjunto B^{c} \cup A pertenece a \mathcal{D} (pues es unión disjunta de elementos de \mathcal{D}) por lo que su complementario

(B^{c} \cup A)^{c} = B \cap A^{c} = B-A

pertenece a \mathcal{D}. Es sencillo comprobar que si sustituimos la condición (b) por la condición de cierre para diferencias propias obtenemos una definición equivalente de sistema de Dynkin.

La importancia de los sistemas de Dynkin estriba en que son una forma relativamente sencilla de obtener sigma-álgebras. Esto lo veremos en próximas entradas.

Estructuras de conjuntos pi-estables (2)

En una entrada anterior, hablamos de la \pi-estabilidad de las clases de conjuntos. Mencionamos que una clase no vacía \mathcal{R} de partes de un conjunto X con una estructura determinada por las conocidas operaciones de intersección, unión y diferencia, resulta ser \pi-estable respecto a dicha estructura si la intersección de cualquier familia de clases (\mathcal{R}_{i})_{i \in I} con dicha estructura da lugar a una familia con la misma estructura. Esto es muy deseable pues permite garantizar que dada una clase cualquiera no vacía (sin estructura previa) podemos encontrar una clase \pi-estable que la contiene.

Las estructuras de \pi-sistema, semianillo y semiálgebra no son \pi-estables. Como todo semianillo y semiálgebra son \pi-sistemas, bastará probarlo para este caso. Pero antes recordemos que una clase no vacía de partes de un conjunto X es un \pi-sistema si y sólo si es cerrada para la intersección finita. Si tenemos una familia (\mathcal{S}_{i})_{i \in I} de \pi-sistemas sobre un mismo conjunto X no podemos garantizar que \cap_{i \in I} S_{i} sea no vacío. En efecto, bastará dar un contraejemplo. Sean A,B,C,D subconjuntos de X tales que A \cap B \neq \emptyset, C \cap D \neq \emptyset y A \cup B y C \cup D son disjuntos. Entonces las familias \{A,B, A \cap B \}, \{C,D, C \cap D \} son \pi-sistemas disjuntos. Su intersección es obviamente vacía.