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Sucesiones disjuntas de conjuntos y convergencia.

Una sucesión (A_{n})_{n} de subconjuntos de un conjunto X, se dice que es convergente si coinciden sus límites inferior y superior. Recordemos que tales límites se pueden definir mediante operaciones conjuntistas:

\lim \inf A_{n} = \cup_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty} A_{k}),

\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty}(\cap_{k=n}^{\infty}A_{k}).

 Vamos a probar que cuando la sucesión está formada por conjuntos disjuntos converge y lo hace al conjunto vacío.

Sea (A_{n})_{n} una sucesión disjunta de partes de X. Definimos la sucesión
D_{n} =\cup_{k=n}^{\infty} A_{k}.
Sabemos que esta sucesión D_{n} es decreciente por su misma construcción y que \lim \sup A_{n} = \lim D_{n}= \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}. Probaremos que esta intersección es vacía. Supongamos que x \in \cap_{n=1}^{\infty} D_{n}, entonces x \in D_{1} y hallaremos i \geq 1, tal que x \in A_{i}, pero también x \in D_{i+1}, lo que implica que existe A_{j} con j > i para el que x \in A_{j}. Esto contradice el carácter disjunto de la sucesión (A_{n})_{n} y por tanto, la intersección es vacía. Es decir,
\lim \sup A_{n} = \cap_{n=1}^{\infty} D_{n} = \emptyset
Como \lim \inf A_{n} \subset \lim \sup A_{n}, también es \lim \inf A_{n} = \emptyset. Al coincidir límite superior e inferior, la sucesión disjunta es convergente al vacío.

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El método de los buenos conjuntos

Como paso previo a la demostración del teorema de las clases monótonas se suele utilizar el resultado de que si \mathcal{R} es un anillo (álgebra) sobre un conjunto X, la clase monótona generada por dicho anillo \mathcal{M}(\mathcal{R}) es también un anillo (álgebra). En la prueba de este enunciado se ejemplifica de manera muy interesante el método llamado de “los buenos conjuntos”.  Veamos la demostración.

Todo anillo contiene al conjunto vacío por lo que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es una clase no vacía. Para probar que dicha clase es un anillo utilizaremos el método de los buenos conjuntos. Empezaremos definiendo la clase
\mathcal{U} =\{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
(donde A' designa el complementario de A). Esta clase contiene al anillo \mathcal{R} y si (A_{n})_{n} es una sucesión monótona creciente de elementos de \mathcal{U}, entonces \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), y la sucesión (A'_{n})_{n} será decreciente y estará formada también por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) por lo que
(\bigcup_{n} A_{n})' = \bigcap_{n} A_{n}' \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Si consideramos una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{U}, el resultado es análogo. Esto significa que \mathcal{U} es una clase monótona que incluye a \mathcal{R} por lo que \mathcal{U}=\mathcal{M} (\mathcal{R}) y la clase monótona es cerrada para el paso al complementario. Sea la clase
\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) : A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall B \in \mathcal{R} \}.
Probaremos que es una clase monótona. En primer lugar, \mathcal{R} \subset \mathcal{E}, pues el anillo es cerrado para la unión finita. Sea (A_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{E}. Entonces, \cup_{n} A_{n} pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (A_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}) y también es creciente por lo que
\bigcup_{n} (A_{n} \cup B) = (\bigcup_{n} A_{n})\cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
Es decir, \cup_{n} A_{n} \in \mathcal{E}. Para el caso de una sucesión decreciente (B_{n})_{n} de elementos de \mathcal{E}, es \cap_{n} B_{n} un elemento de \mathcal{M}(\mathcal{R}), la sucesión (B_{n} \cup B)_{n}, con B \in \mathcal{R}, también es decreciente y está formada por elementos de \mathcal{M}(\mathcal{R}), luego
\bigcap_{n}(B_{n} \cup B) = (\bigcap_{n} B_{n}) \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).
En consecuencia, \cap_{n} B_{n} \in \mathcal{E}. Eso prueba que \mathcal{E} es clase monótona y, por su definición, \mathcal{E} = \mathcal{M}(\mathcal{R}). Para acabar, definimos la clase
\mathcal{D} = \{ B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}): A \cup B \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), \forall A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}) \}.
Entonces, por lo demostrado para la clase \mathcal{E}, se tiene que \mathcal{R} \subset \mathcal{D}. Sólo nos restará probar que es una clase monótona. Sea (B_{n})_{n} una sucesión creciente de elementos de \mathcal{D}. Por definición, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{M}(\mathcal{R}). La sucesión ( A \cup B_{n})_{n}, para A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}), será también creciente y además

\bigcup_{n} (B_{n} \cup A) = (\bigcup_{n} B_{n}) \cup A \in \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Es decir, \cup_{n} B_{n} \in \mathcal{D}. Para el caso de una sucesión decreciente, la prueba es análoga. Como \mathcal{D} es una clase monótona que contiene a \mathcal{R} y está contenida en \mathcal{M}(\mathcal{R}), concluimos que \mathcal{D} = \mathcal{M}(\mathcal{R}) y \mathcal{M}(\mathcal{R}) es cerrada para la unión. Esto era lo que nos restaba para probar que \mathcal{M}(\mathcal{R}) es un anillo.
En el caso de que el punto de partida sea un álgebra el resultado es análogo pues sólo faltaría comprobar que el conjunto X pertenece a \mathcal{M}(\mathcal{R}). Pero esto es inmediato, pues si \mathcal{R} es un álgebra, entonces X \in \mathcal{R} \subset \mathcal{M}(\mathcal{R}).

Una demostración sobre sigma-álgebras generadas e imágenes inversas.

Sean X e Y dos conjuntos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación entre ellos. Si \mathcal{C} es una clase no vacía de partes de Y, tratamos de demostrar que la sigma-álgebra generada por la clase de las imágenes inversas de \mathcal{C} coincide con la imagen inversa de la sigma-álgebra generada por la clase \mathcal{C}. En símbolos

\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).

Sabemos que \mathcal{C} \subset \sigma(\mathcal{C}). Por tanto,
f^{-1}(\mathcal{C}) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C}))
Ahora bien, sabemos que f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) es una sigma-álgebra. Así que
\sigma(f^{-1}(\mathcal{C})) \subset f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})).
Para probar la inclusión recíproca vamos a utilizar el método de los “conjuntos buenos”. Definimos la clase
\mathcal{M} = \{ B \in \sigma(\mathcal{C}) : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \}.
Como Y \in \sigma(\mathcal{C}) y f^{-1}(Y) = X \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), la clase \mathcal{M} es no vacía. Además si C pertenece a \mathcal{C}, tenemos que f^{-1} (C) \in f^{-1}(\mathcal{C}) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})). Por tanto, \mathcal{C} \subset \mathcal{M}. Sea B perteneciente a  \mathcal{M}. Entonces f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})), de donde
f^{-1}(Y-B) = X-f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))
Esto prueba que Y-B pertenece a \mathcal{M}. Por otro lado, si (B_{n})_{n} es una familia numerable de elementos de \mathcal{M}, la familia (f^{-1}(B_{n}))_{n} es numerable y está formada por elementos de \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})). Esto significa que \cup_{n} B_{n} \in \sigma(\mathcal{C}) y también
f^{-1}(\cup_{n} B_{n}) = \cup_{n} f^{-1}(B_{n}) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})).
Hemos probado que \mathcal{M} es una sigma-álgebra por lo que \sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{M}. Pero, por definición, es \mathcal{M} \subset \sigma(\mathcal{C}). La doble inclusión lleva a la igualdad y así podemos afirmar que
f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})),
lo que era nuestro objetivo al definir la clase \mathcal{M}. Esto termina la demostración.

Sobre sigma-álgebras y numerabilidad

Existe un resultado muy interesante sobre la no numerabilidad de las sigma-álgebra de conjuntos infinitas. He visto algunas demostraciones más o menos complicadas pero la que más me ha gustado es la que muestro a continuación.

En primer lugar, si \mathcal{A} es una sigma-álgebra infinita sobre un conjunto X, dicho conjunto ha de ser infinito. En efecto, el conjunto 2^{X} de las partes de un conjunto X finito es finito y resulta una sigma-álgebra que contiene a todas las sigma-álgebras sobre X por lo que éstas han de ser también finitas. Sea pues X un conjunto infinito y supongamos que existe una sigma-álgebra \mathcal{A} sobre X que es infinito numerable. Es inmediato que podemos tomar una familia (A_{n})_{n} infinito numerable de elementos de \mathcal{A} distintos dos a dos. Procedemos a formar con ella una nueva familia infinito numerable y disjunta de elementos de \mathcal{A} mediante
B_{n} =\left\{ \begin{array}{c}  A_{1}, \quad \text{si} \quad n =1 \\  A_{n} - \cup_{k=1}^{n-1} A_{k}, \quad \text{si} \quad n \geq 2.\\  \end{array}  \right.
La aplicación f: 2^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathcal{A} , dada por
f(M) = \cup_{n \in M} B_{n}
es inyectiva. Por tanto, |2^{\mathbb{N}}| \leq |\mathcal{A}| y la sigma-álgebra no es numerable en contra de lo supuesto.

Más sobre anillos de conjuntos

Me surgió un problema relativo al carácter del producto cartesiano de anillos de conjuntos. Como no daba con la clave consulté en el estupendo foro del rincón matemático y Tanius fue muy amable al darme un contraejemplo.  Esta es la argumentación que he podido pergeñar:

Sean \mathcal{R}_{1} y \mathcal{R}_{2} anillos sobre X e Y, respectivamente. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2}, ¿es un anillo sobre X \times Y?
Todo anillo es semianillo por lo que es claro que \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} es un semianillo y contendrá al vacío y será cerrado para la intersección finita. Sin embargo, no siempre es un anillo como podemos ver mediante un contraejemplo. Sean
\mathcal{R}_{1} = \{ \emptyset,\{1\}, \mathbb{N}-\{1 \}, \mathbb{N} \},
\mathcal{R}_{2} = \{ \emptyset,\{2\}, \mathbb{N}-\{2 \}, \mathbb{N} \}.
Ambas clases son anillos sobre los naturales. La clase \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} contiene a los conjuntos (\mathbb{N}- \{1\}) \times (\mathbb{N} -\{2 \}) y \{(1,2) \}. Pero su unión es
A= (\{2,3, \ldots, n, \ldots \} \times \{1,3,4, \ldots, m, \ldots, \}) \cup \{(1,2) \}
Veamos que tal unión no pertenece al producto cartesiano de las clases. Los elementos de \mathcal{R}_{1} \times \mathcal{R}_{2} son

\emptyset, \{(1,2)\}, \{1\} \times (\mathbb{N}- \{2\}), \{1\} \times \mathbb{N}, (\mathbb{N}-\{1\}) \times \{2\},
(\mathbb{N}-\{1\}) \times (\mathbb{N}-\{2\}), (\mathbb{N}-\{1\})\times \mathbb{N}, \mathbb{N} \times \{2\}, \mathbb{N} \times (\mathbb{N}- \{2\}),\mathbb{N} \times \mathbb{N}.

Pero el conjunto A no es ninguno de ellos como el lector puede comprobar. Así pues, el producto cartesiano de anillos (o de álgebras) no es siempre un anillo (o álgebra).

Demostración sobre producto cartesiano de semianillos de conjuntos

Sea X un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos de X es un semianillo sobre X si contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y además la diferencia de dos cualesquiera de los elementos de la colección resulta expresable mediante unión finita y disjunta de elementos de la misma colección.

Si queremos probar que dados \mathcal{S}_{1}, semianillo sobre X y \mathcal{S}_{2} semianillo sobre Y, su producto cartesiano

\mathcal{S}_{1} \times \mathcal{S}_{2} = \{ A \times B: A \in \mathcal{S}_{1}, B \in \mathcal{S}_{2} \} ,

es un semianillo sobre X \times Y, necesitamos hacer uso de una interesante propiedad de la diferencia de productos cartesianos. En concreto, necesitaremos probar que para A, C \in X y B,D \in Y, se tiene que

(A \times B)-(C \times D) = (A \times (B-D)) \cup ((A-C) \times B) .

He encontrado una interesante demostración en Proof Wiki.

Sobre la definición de conjunto infinito

La definición clásica de conjunto infinito es sencilla: un conjunto es infinito cuando no es finito. Es claro que llegado a este punto, la pregunta inmediata que nos hacemos es, ¿cuándo un conjunto es finito? Pues también existe una definición clásica y es la siguiente.

Un conjunto A es finito si es vacío o existe un subconjunto  S(n)= \{1,2, \ldots, n \} de \mathbb{N} y una biyección f  de A en S(n).

Sin embargo, existe otra definición menos conocida pero muy interesante atribuida a Dedekind:

Un conjunto A se dice que es finito tipo Dedekind o D-finito si no es posible encontrar ninguna biyección entre el conjunto A y cualquiera de sus subconjuntos propios. En caso contrario, se dirá que es infinito tipo Dedekind o D-infinito.

Utilizando la propiedad de buena ordenación de los naturales podemos probar que todo conjunto finito es D-finito.  Sin embargo, la única prueba que conozco de la equivalencia de que todo conjunto infinito es D-infinito precisa del axioma de elección.