Ecuaciones trigonométricas (2)

Continuamos resolviendo algunas ecuaciones trigonométricas.  En este caso nos atrevemos con la siguiente:

\tan 2x -4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x.

Emplearemos las fórmulas del ángulo doble y el desarrollo buscará factorizar de alguna manera la expresión. Empezaremos con la tangente del ángulo doble:

\tan 2x = \frac{ \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }.

Sustituimos y sacamos factor común

\frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-2)+ 1 = 4 \sin^{2} x.

Operamos el paréntesis y tenemos en cuenta que $1 = \cos^{2} x + \sin^{2} x$ (identidad pitagórica),

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+ 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ \cos^{2} x+ \sin^{2} x-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) +1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ + 3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+1 = 4 \sin^{2} x.

Pasamos el $1$ al otro miembro y volvemos a utilizar la identidad pitagórica

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -1,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -\cos^{2} x - \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x.

En este punto identificamos un factor común en ambos miembros: 3\sin^{2} x-\cos^{2} x. Por tanto, tenemos

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) - 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x =0,

( 3\sin^{2} x-\cos^{2} x)(\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1) = 0.

Quedan entonces dos ecuaciones sencillas

3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0, (1)

\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 = 0, (2)

que pasamos a resolver

(1) 3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0,

3 \sin^{2} x - (1 - \sin^{2} x) = 0,
4 \sin^{2} x =1,
\sin^{2} x= \frac{1}{4},
\sin x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}.

(2) \frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 =0,

\frac{ \sin 2x}{\cos 2x} =1,
\tan 2x =1.

El resto se deja al cuidado del lector.

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Una ecuación trigonométrica

Vamos a resolver una ecuación trigonométrica:

\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0.

Pero primero vamos a demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}. (1)

Bastará utilizar las conocidas expresiones para el seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos:

\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y,
\sin (x-y) = \sin x \cos y - cos x \sin y.

Haciendo x +y = A y x-y = B, despejando x e y en función de A y B y sustituyendo, tendremos la expresión (1). Pasamos a resolver la ecuación pero antes agrupamos en la forma

(\sin x+ \sin 3x) +(\sin 2x + \sin 4x) = 0.

Procedemos con los cálculos a partir de (1) en cada paréntesis:

2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} + 2 \sin \frac{2x+4x}{2}  \cos \frac{2x-4x}{2} = 0,
2 \sin 2x \cos (-x) + 2 \sin 3x + \cos (-x) = 0,
2 \cos (-x) (\sin 2x + \sin 3x) = 0,
-2 \cos x (2 \sin \frac{2x+3x}{2} \cos \frac{2x-3x}{2}) = 0,
-4 \cos x \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{-x}{2} = 0,
4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{5x}{2} = 0.

Por tanto, tenemos tres ecuaciones:

\cos x =0, (2)
\cos  \frac{x}{2} =0, (3)
\sin \frac{5x}{2} = 0, (4)

cuyas resoluciones son muy sencillas.