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Curso EVT. Lectura 14. Subespacios suplementarios

Definición 1. Sean F y G dos subespacios de E. Decimos que la suma F+G es directa si y sólo si cada vector u del conjunto F+G se puede escribir de una sola forma (excepto por el orden) como suma de un vector de F y otro de G.

En el caso de que la suma de F y G sea directa escribimos F\oplus G en lugar de F+G.

Teorema 1. Son equivalentes:
(a). La suma de los subespacios F y G es directa.
(b) Es F \cap G = \{0 \}.

Prueba. Supongamos que la suma F+G es directa. Como el vector cero pertenece a todo subespacio, es 0 \in F \cap G. Si existe otro elemento x \neq 0 perteneciente a F \cap G, entonces x \in F y x \in G por lo que -x \in G y tenemos que 0 = 0+0 = x+(-x). Esto significa que el cero se puede obtener de dos formas diferentes como suma de un elemento de F y otro de G. Para evitar esta contradicción concluimos que F \cap G = \{0 \} y (a) implica (b). Sea cierto (b) y supongamos que para u \in F+G existen x,y \in F y z,t \in G, tales que u = x+z=y+t. En tal caso x-y = t-z \in F \cap G, por lo que x-y =t-z = 0 y concluimos que x=y y z=t. Esto prueba que la suma es directa y (b) implica (a) terminando nuestra demostración.

Definición 2. Dos subespacios F y G de E se dice que son suplementarios si F \oplus G = E.

Como consecuencia del teorema 1 tenemos el siguiente resultado.

Corolario 1. Dados dos subespacios F y G de E, son equivalentes:
(a) F y G son suplementarios.
(b) F+G = E y F \cap G = \{0 \}.

El siguiente resultado garantiza la existencia de subespacios suplementarios a uno dado.

Teorema 2. Si F es un subespacio de E, hallaremos al menos un subespacio G de E tal que F \oplus G = E.

Prueba. Sea F= \{0 \} el subespacio trivial. Bastará elegir G=E para obtener un suplementario. En el caso de que F=E se invierten los papeles y bastará elegir G= \{0 \}. Supongamos que F no es el subespacio trivial ni tampoco E. En tal caso, si A es una base de Hamel de F resulta un conjunto linealmente independiente y podemos entonces hallar una base de Hamel B de E que incluya a A. Probaremos que G=L(B-A) es el subespacio suplementario de F. En efecto, si x pertenece a E se expresa como combinación lineal finita de elementos de B por lo que es evidente que es resultado de la suma de un elemento de F y otro de G. Así pues, E = F+G. Finalmente, si existiera un elemento no nulo en F \cap G, dicho elemento sería combinación lineal finita con escalares no nulos de elementos de los conjuntos A y B-A a un tiempo, por lo que igualando sus expresiones podríamos obtener el vector cero de forma no trivial con elementos de B y la base B sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Así pues, F \cap G = \{0 \} y esto termina la demostración.

Una consecuencia directa de la demostración del teorema anterior hace referencia a las dimensiones.

Corolario 2. Si E = F \oplus G, entonces dim(E) = dim (F)+ dim(G).

Prueba. En efecto, sea E = F \oplus G. Si B es la base de Hamel de E que incluye a la base A de F, sabemos que B-A es una base de G, disjunta con A. Por tanto, dim (E) = |B| = |A \cup (B-A) | = |A| + |B-A| = dim(F)+dim(G).

Vamos a definir la suma directa para una familia cualquiera de subespacios.

Definición 3. Sea (S_{i})_{i \in I} una familia no vacía de subespacios de E. Decimos que la suma \sum_{i \in I} S_{i} es directa si cada x \in \sum_{i \in I} S_{i} admite una única expresión como suma finita de elementos de \cup_{i \in I} S_{i}.

Escribiremos \oplus_{i \in I} S_{i} para indicar la suma directa de la familia de subespacios (S_{i})_{i \in I}.

Teorema 3. Sea (S_{i})_{i \in I} una familia no vacía de subespacios de E. Son equivalentes:
(a) La suma H= \sum_{i \in I} S_{i} es directa.
(b) Para cada i de I es (\sum_{j \in I- \{i \}} S_{j}) \cap S_{i} = \{0 \}.

Prueba. Supongamos que la suma \sum_{i \in I} S_{i} es directa y que existe al menos un i_{0} de I y un vector x \neq 0 tales que x \in(\sum_{j \in I- \{i_{0} \}} S_{j}) \cap S_{i_{0}}. En tal caso, x = x y x = x_{1}+ \dots + x_{m}, serían dos expresiones diferentes de x como suma finita de elementos de \cup_{i \in I} S_{i}, ya que en la primera x \in S_{i_{0}} y en la segunda x_{k} \in \cup_{j \in I- \{i_{0} \}} S_{i} para k=1, \ldots, m. Para evitar esta contradicción será x=0, de donde (a) implica (b). Sea cierto (b) y sea x un elemento de la suma tal que x = x_{1}+ \ldots + x_{n} = y_{1}+ \ldots + y_{m}, con x_{j} \in S_{i_{j}}, y_{k} \in S_{i_{k}} \quad \text{para} \quad j=1, \ldots, n, \quad k=1, \ldots, m. Tomando r= \max \{n,m \} podemos hacer más homogénea la representación de x. Bastará escribir ceros para completar los sumandos en el caso que corresponda. Así pues, queda x = x_{1}+ \ldots + x_{r} = y_{1}+ \ldots + y_{r}. En consecuencia, \sum_{l=1}^{r} (x_{l} -y_{l}) = 0. Ahora bien, esto significa que para cada l_{j} es x_{l_{j}} -y_{l_{j}} = \sum_{l \neq l_{j}} (y_{l}-x_{l}). Aplicando (b) concluimos entonces que x_{l_{j}} -y_{l_{j}} = 0 y variando j tenemos que x_{l} = y_{l} para todo l=1,2, \ldots, r. Por tanto, (b) implica (a) y termina la demostración.

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Curso EVT. Lectura 13. Extensión de operaciones a subconjuntos

En la lectura anterior sobre subespacios hemos definido la suma de subconjuntos de un espacio vectorial y hemos dado algunas de sus propiedades. Ahora vamos a extender también la operación de producto por escalares a subconjuntos.

Definición 1: Sea A un subconjunto no vacío del K-espacio vectorial E y sea \lambda un escalar. Definimos el conjunto
\lambda A = \{ \lambda x : x \in A \}

Esta definición es consistente y podemos probar que si A y B son subconjuntos no vacíos de E y \lambda, \mu escalares de K, se tienen las siguientes propiedades:

1. 0A = \{0 \}.
2. \lambda (\mu A)= (\lambda \mu) A.
3. 1A = A, \quad (-1)A = -A.
4. \lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B.
5. (\lambda + \mu) A \subset \lambda A + \mu A.
6. Si A \subset B, entonces \lambda A \subset \lambda B.

La propiedad 5 es especialmente interesante pues nos muestra que la “distributividad” de los escalares y los vectores no se da para las operaciones con conjuntos. En efecto, veamos un contraejemplo.

Contraejemplo: Sea \mathbb{R} el espacio vectorial real de los números reales con la suma y el producto usuales. Sean el conjunto A= \{-1,0,1 \} y los escalares \lambda =1 y \mu =-1. Entonces
(\lambda + \mu) A = (1+(-1)) \{-1,0,1 \} = 0 \{-1,0,1 \} = \{0 \},mientras que \lambda A + \mu A = 1 \{-1,0,1 \} + (-1) \{-1,0,1 \} = \{-1,0,1 \} + \{1,0,-1 \} =\{-2,-1,0,1,2 \}. Es decir, \lambda A + \mu A \nsubseteqq (\lambda + \mu) A .

También convenimos en que \lambda \emptyset = \emptyset para cualquier escalar \lambda.

Definición 2: Sea A un subconjunto no vacío del K-espacio vectorial E y sea \Lambda un subconjunto no vacío de K. Definimos el conjunto
\Lambda A = \{ \lambda x : x \in A, \lambda \in \Lambda \}

Esta definición es también consistente y podemos probar fácilmente que \Lambda A = \cup_{\lambda \in \Lambda} \lambda A. Con esta terminología obtenemos una forma de caracterizar los subespacios concisa y completa.

Teorema 1: Un subconjunto no vacío S del  K-espacio vectorial E es un subespacio si y sólo si para todos \lambda, \mu \in K es
\lambda S + \mu S \subset S

Obsérvese que \lambda \emptyset +\mu \emptyset \subset \emptyset. Ahora bien, como hemos exigido conjuntos no vacíos en el teorema 1, esto no implica que el vacío sea un subespacio.

Consideremos ahora las propiedades de las operaciones extendidas en el caso de aplicarse a uniones e intersecciones arbitrarias.

Teorema 2: Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de subconjuntos de E. Se cumplen:
a) Para todo escalar \lambda es \lambda \cup_{i \in I} A_{i} = \cup_{i \in I} \lambda A_{i}.

b) Si la intersección \cap_{i \in I} A_{i} es no vacía y \lambda \in K entonces \lambda \cap_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} \lambda A_{i}.

c) Si x es un elemento de E, entonces x+ \cup_{i \in I} A_{i} = \cup_{i \in I} (x+A_{i}).

d)  Si x es un elemento de E, entonces x+ \cap_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} (x+A_{i}).

Prueba. Si la unión es vacía, todo elemento de dicha unión es vacío y entonces \lambda \cup_{i \in I} A_{i} = \lambda \emptyset = \emptyset y también \cup_{i \in I} \lambda A_{i} = \cup_{i \in I} \lambda \emptyset = \cup_{i \in I} \emptyset = \emptyset. Supongamos que la unión es no vacía y sea z un elemento de \lambda \cup_{i \in I} A_{i}. En tal caso, existe al menos un x \in \cup_{i \in I} A_{i} tal que z = \lambda x. Como x pertenece a la unión hallaremos al menos un i_{0} de I para el que x \in A_{i_{0}} y, en consecuencia, z = \lambda x pertenece a \lambda A_{i_{0}} y de aquí que z pertenezca a la unión \cup_{i \in I} \lambda A_{i}. Esto prueba que \lambda \cup_{i \in I} A_{i} \subset \cup_{i \in I} \lambda A_{i}. Recíprocamente, si u es un elemento de \cup_{i \in I} \lambda A_{i}, existe al menos un i_{1} \in I tal que u pertenece a \lambda A_{i_{1}} y por ello para cierto x \in A_{i_{1}} es u = \lambda x. Finalmente, como x es un elemento de \cup_{i \in I} A_{i}, concluimos que u pertenece a \lambda \cup_{i \in I} A_{i} y es \cup_{i \in I} \lambda A_{i} \subset \lambda \cup_{i \in I} A_{i} . La doble inclusión nos lleva a la igualdad y esto prueba (a). Sea ahora \lambda = 0, entonces si \cap_{i \in I} A_{i} es no vacío, tenemos que \lambda \cap_{i \in I} A_{i} = \{0 \}. Análogamente, \lambda A_{i} = \{0 \} para todo i de I por lo que \cap_{i \in I} \lambda A_{i} = \{0 \}. Esto prueba (b) en este caso. Veamos ahora la otra posibilidad: \lambda \neq 0. Sea z \in \lambda \cap_{i \in I} A_{i}. Entonces existe x \in A_{i} para todo i \in I tal que z = \lambda x. Es decir, z \in \cap_{i \in I} \lambda A_{i} y, por tanto, \lambda \cap_{i \in I} A_{i} \subset \cap_{i \in I} \lambda A_{i}. Para acabar, si u es un elemento de \cap_{i \in I} \lambda A_{i}, entonces u pertenece a \lambda A_{i} para todo i \in I y, en consecuencia \lambda^{-1} u pertenece a (\lambda^{-1})(\lambda A_{i}) = A_{i} para todo i \in I. Esto es, \lambda^{-1} u es un elemento de \cap_{i \in I} A_{i}. Si volvemos a multiplicar por \lambda resulta u \in \lambda \cap_{i \in I} A_{i} y de aquí \cap_{i \in I} \lambda A_{i} \subset \lambda \cap_{i \in I} A_{i}. Esto prueba (b). Las pruebas de las afirmaciones (c) y (d) son análogas a los ya expuestas y se dejan a cargo del lector.

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Curso EVT. Lectura 11. Subespacios (1)

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Decimos que un subconjunto F  de E, no vacío, es un subespacio de E si y sólo si la restricción de las operaciones de suma de vectores y producto por escalares al conjunto F hace de éste un espacio vectorial sobre K.

Teorema 1: Sea F un subconjunto no vacío del espacio vectorial E. Son equivalentes:a) F es un subespacio de E.

b) Para todos x,y \in F y todo \lambda \in K son x+y, \lambda x elementos de F.

c) El subconjunto F contiene a todas las combinaciones lineales finitas de sus elementos.

d) Para todos \lambda, \mu de K y para todos x,y de F es \lambda x+ \mu y un elemento de F.

Prueba: a) implica b). Como F es un subespacio de E, tenemos que es cerrado para las restricciones de las operaciones de suma de vectores y producto de escalares por vectores. En consecuencia, si x,y \in F y \lambda \in K, se sigue que x+y, \lambda x son elementos de F.

b) implica c). Haremos la prueba por inducción. Así si (x_i)_{i=1}^{n}, con n \geq 1 es una familia finita de elementos de F, resulta por (b) que \lambda_{1} x_{1} \in F y si para r \geq 1 fuera \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} x_{i} \in F, entonces

\sum_{i=1}^{r+1} \lambda_{i} x_{i} = \lambda_{r+1} x_{r+1} + \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} x_{i}.

Pero al ser \lambda_{r+1} x_{r+1} y \sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} x_{i} elementos de F, su suma es un elemento de F.

c) implica d). Es inmediato.

d) implica a).  Sean x,y elementos de F y sean \lambda=1, \mu=-1, entonces \lambda x + \mu y = x-y es un elemento de F y F es un subgrupo de E. Si ahora hacemos \mu =0 es $\lambda x$ un elemento de F y el producto de escalares por vectores es cerrado cumpliéndose de forma inmediata las propiedades de este. En definitiva, F es un espacio vectorial sobre K con las restricciones de la suma de vectores y el producto de escalares por vectores.

Utilizando el teorema anterior podemos ver que

1. El cero es un elemento de todo subespacio de F.

2. La intersección de subespacios es un subespacio.

En efecto. Si F es un subespacio entonces es no vacío y tomando x \in F y \lambda =0 es \lambda x = 0x= 0 un elemento de F. Si (F_i)_{i \in I} es una familia de subespacios de E, entonces su intersección es no vacía pues el cero pertenece a todos ellos. Además si x,y \in \cap_{i \in I} F_i y \lambda, \mu \in K, se sigue que x,y \in F_i para todo i \in I, de donde \lambda x+ \mu y \in F_i, para todo i \in I y la intersección es un subespacio por (d) del teorema anterior.

En todo espacio vectorial no trivial hay al menos dos subespacios: el propio espacio y el subconjunto \{0\}. Por ello podemos dar la siguiente

Definición: Sea E un K-espacio vectorial y sea A un subconjunto no vacío de E. La clase de los subespacios que incluyen a A se denota por \mathcal{L}(A).

Esta clase es no vacía pues E \in \mathcal{A}. Además la intersección de todos los elementos de \mathcal{A} será un subespacio, pero no cualquier subespacio es un subespacio muy especial.

Teorema 2: Sea E un K-espacio vectorial y sea A un subconjunto no vacío de E. La intersección de todos los subespacios que incluyen a A es la envoltura lineal de A. En símbolos: \cap_{F \in \mathcal{L}(A)} F = L(A).

Prueba: Sea \mathcal{L}(A) = \{H_i : i \in I \} la familia de todos los subespacios de E que incluyen a A. Sea C su intersección. Evidentemente, C es no vacío pues contiene a A y además es un subespacio como ya hemos probado. Si x depende linealmente de A, entonces x es combinación lineal de elementos de A y por ende de elementos de C por lo que pertenece a C al ser este un subespacio (Ver teorema 1). Por tanto, si denotamos L(A) a la envoltura lineal de A es

L(A) \subset C.

Recíprocamente, probaremos que L(A) es un subespacio vectorial de E. En efecto, sean x,y elementos de L(A). Hallaremos familias finitas (x_i)_i, (y_j)_j de elementos de A tales que x = \sum_{i} a_i x_i, y= \sum_{j} b_j y_j. En consecuencia, si \lambda \in K, podemos escribir

x+y = \sum_{i,j}( a_i x_i+b_j y_j), \lambda x = \lambda \sum_{i} a_i x_i = \sum_{i} (\lambda a_i) x_i.

Pero esto significa que x+y \in L(A) y \lambda x \in L(A), por lo que L(A) es un subespacio. Evidentemente, de A \subset L(A) se sigue que L(A) \in \mathcal{L}(A) y, en consecuencia

C = \cap_{i \in I} H_i \subset L(A).

Esto termina la demostración. El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema 2.

Corolario: Un subconjunto A no vacío es un subespacio si y sólo si coincide con su envoltura lineal.

 

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Curso EVT. Lectura 10. Las nociones de base y dimensión (4)

En la lectura 9 hemos probado que un espacio vectorial que tienen una base formada por un número finito de elementos tiene todas sus bases con el mismo cardinal. Ahora probaremos el mismo hecho para espacios vectoriales con bases que tengan un número infinito de elementos.

Teorema: Sea E un espacio vectorial y sea A una base de Hamel de E con cardinal infinito. Entonces si B es otra base de Hamel de E, se tiene que el cardinal de B es el mismo que el de A.

Prueba. Sea x un elemento de la base A. Entonces hallaremos un subconjunto finito y no vacío F(x) de la base B, de forma que x es combinación lineal con coeficientes no nulos de elementos de F(x). Es decir, x depende linealmente de F(x). Reiterando este proceso formamos el conjunto

M = \cup_{x \in A} F(x),

que obviamente es un subconjunto de B pues cada uno de los elementos de la unión es subconjunto de B. A continuación probaremos que M=B. Para ello nos falta la inclusión B \subset M. Sea pues z un elemento de B. Podremos encontrar un subconjunto finito

S(z) = \{x_1, x_2, \ldots, x_r \}

de elementos de A, cuya combinación lineal con coeficientes no nulos da lugar a z. Para cada uno de los x_i, hemos definido previamente los subconjuntos F(x_i) de B, por lo que

N = \cup_{i=1}^{r} F(x_i)

es un subconjunto de M que genera z. Si dicho z perteneciera a B-M, entonces B sería linealmente dependiente pues z dependería linealmente de B-\{z\}. Así pues z \in M y B =M.

Llegados a este punto utilizaremos la notación |X| para indicar el cardinal del conjunto X y la notación \omega para el cardinal de los enteros positivos. Las propiedades de los cardinales (que veremos en una ampliación a esta lectura) permiten escribir

|B| = |M| =| \cup_{x \in A} F(x)| \leq \sum_{x \in A} |F(x)| \leq \sum_{x \in A} \omega = |A| \omega = |A|.

Esto prueba que el cardinal de A y el de B son iguales.

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Curso EVT. Lectura 9. Las nociones de base y dimensión (3)

Vamos a probar que todas las bases de un determinado espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Para ello, necesitaremos de algunos resultados previos. Comenzaremos con el caso en el que el espacio vectorial tiene una base formada por un número finito de vectores.

(1) Sea n un entero positivo y (x_i)_{i=1}^{n} una familia de vectores no nulos de un espacio vectorial E. Son equivalentes:
(i) La familia es linealmente dependiente.
(ii) Existe un índice j>1, tal que x_{j} que es combinación lineal de la familia (x_i)_{i=1}^{j}.
Prueba:  (i) implica (ii). Supongamos que la familia es linealmente dependiente. Hallaremos entonces que existe una subfamilia (x_k)_{k \in K} que verifica
\sum_{k \in K} \lambda_k x_k =0,
siendo no todos los \lambda_k nulos. Sea j = \max \{k \in K : \lambda_k \neq 0 \}. Entonces
\sum_{k=1}^{j} \lambda_k x_k = 0.
Si j=1, entonces \lambda_1 x_k =0, con \lambda_1 \neq 0. Pero esto no es posible pues entonces x_1 = 0 y la familia (x_i)_{i=1}^{n} contiene un vector nulo en contra de lo supuesto. Por tanto, j>1 y podemos escribir
x_j = -\sum_{k=1}^{j-1} (\lambda_{j}^{-1} \lambda_k) x_k.

(ii) implica (i). Es evidente.

(2) Supongamos que la familia (x_i)_{i=1}^{n} genera el espacio vectorial E. Entonces:

(a) Si w \in E, entonces (x_i)_{i=1}^{n} \cup (w) es linealmente dependiente.

(b) Si uno de los vectores x_j de la familia es combinación lineal del resto de los vectores de dicha familia, entonces (x_i)_{i =1, i \neq j}^{n} genera E.

Prueba. (a). Como w depende de (x_i)_{i=1}^{n} se sigue que (x_i)_{i=1}^{n} \cup (w) es linealmente dependiente (ver lectura 5).

(b). Supongamos que x_j depende linealmente de (x_i)_{i=1,i \neq j}^{n}. Entonces

x_j = \sum_{i=1, i \neq j} \lambda_i x_i .

Si consideramos un vector w \in E, entonces dicho vector es una combinación lineal de la familia (x_i)_{i =1}^{n}, por lo que si en la combinación lineal interviene x_j podemos sustituir su expresión por la combinación anterior y obtendremos que w depende linealmente de (x_i)_{i=1,i \neq j}^{n}. Esto prueba que dicha familia genera E.

(3). Supongamos que (x_i)_{i=1}^{n} genera el vectorial no trivial E. Entonces si (w_k)_{k=1}^{m} es una familia linealmente independiente de elementos de E, se tiene que m \leq n.

Prueba. Sea la familia

(w_1, x_1, \ldots, x_n).

Entonces por (2), dicha familia es linealmente dependiente y por (1) hallaremos que un vector x_{j_{1}} depende linealmente de los vectores w_1, x_1, \ldots, x_{j_{1}-1}. Ahora bien, por (2) podemos eliminar el vector x_{j_{1}} y conseguiremos que la familia también genere E. Repitiendo el argumento para el vector w_2 tenemos que

(x_i)_{i =1, \neq j_1} \cup (w_1, w_2),

es una familia linealmente dependiente por lo que existe x_{j_{2}} que depende linealmente de los vectores anteriores a él (no puede tratarse de w_2 pues la familia (w_k)_{k=1}^{n} es linealmente independiente. Prescindiendo de dicho vector tenemos que

(x_i)_{i =1, \neq j_1,j_2} \cup (w_1, w_2)

es una familia que genera E. Si fuera m >n, entonces tras n pasos llegaríamos a la familia

(w_1, w_2, \ldots, w_n),

la cual al ser un sistema generador permitiría obtener w_{n+1} y, en consecuencia (w_k)_{k=1}^{m} sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por ello, m \leq n.

Teorema. Sea E un espacio vectorial no trivial y sea B =(x_i)_{i=1}^{n} una base de Hamel de E, entonces si C es otra base de Hamel de E se tiene que el cardinal (número de elementos) de C es igual a n.

Prueba. Supongamos que C tiene más de n vectores. Entonces por (3) concluimos que es linealmente dependiente. Pero esto contradice su carácter de base por lo que C tendrá n o menos vectores. Recíprocamente, si C contiene menos de n vectores, entonces por (3) B ha de ser linealmente dependiente en contra de lo supuesto. En consecuencia, C contiene exactamente n vectores.

Este resultado justifica la definición de dimensión para un espacio vectorial con una base de cardinal finito. La dimensión de dicho espacio es el número de vectores de una cualquiera de sus bases.

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Curso EVT. Lectura 8. Notas aclaratorias (2)

Vamos enunciar el lema de Zorn, el cual hemos utilizado para los resultados de la lectura 7. Hemos de señalar que, en realidad, el lema de Zorn, es equivalente al axioma de elección y aunque no demostraremos tal equivalencia (el lector interesado puede ver una prueba en el texto “Naive Set Theory” de Halmos) daremos sus definiciones y otras equivalencias.

El axioma de elección se suele incluir en la mayoría de las teorías axiomáticas de conjuntos. Es de enorme importancia en la matemática moderna para la deducción de resultados en gran cantidad de sus ramas. Sin embargo, está sujeto a una gran controversia pues su aplicación permite algunas paradojas físicas como la de Banach-Tarski (es una afirmación, publicada en 1924, en la que una esfera puede ser dividida en 5 conjuntos no medibles de puntos los cuales se pueden reacomodar en dos esferas del mismo volumen). Para clarificar su naturaleza empezaremos con una definición.

Definición: Función de elección.
Sea X un conjunto no vacío. Dada una familia no vacía (A_{i})_{i \in I} de subconjuntos no vacíos de X, se define una función de elección como una función f de I en X tal que para cada i de I es f(i) un elemento de A_{i}.

Es decir, una función de elección “escoge” un elemento de cada conjunto de una familia no vacía cualesquiera de conjuntos no vacíos.

Definición. Producto cartesiano.
Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de la familia es el conjunto de todas las funciones de elección definidas sobre dicha familia. Se notará por \times_{i \in I} A_{i}.

La existencia de funciones de elección (y en consecuencia de productos cartesianos cualesquiera) no se puede garantizar sin más. Esto es lo que pretende el axioma de elección.

Axioma de elección.El producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío.

De acuerdo con nuestras definiciones este axioma es equivalente al siguiente.

Primer axioma equivalente: Para cada familia no vacía de conjuntos no vacíos existe una función de elección.

En efecto, si (A_{i})_{i \in I} es una familia no vacía de conjuntos no vacíos, el conjunto X = \cup_{i \in I} A_{i} existe en virtud del axioma de la unión. Es obvio que cada A_{i} es un subconjunto de X. Cada función f:I \rightarrow X que cumpla que para todo i \in I es f(i) \in A_{i} es una función de elección. La no vacuidad del producto cartesiano equivale a la existencia de al menos de una de estas funciones.

Existen otros enunciados equivalentes al axioma de elección, uno de los más conocidos es el siguiente.

Postulado de Zermelo. Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos disjuntos no vacíos. Existe entonces un subconjunto S de \cup_{i \in I} A_{i} cuyo intersección con cada A_{i} de la familia consta de un sólo elemento.

Pasemos a demostrar la equivalencia.

Teorema. El axioma de elección es equivalente al postulado de Zermelo.
Prueba. Sea (A_{i})_{i \in I} una familia disjunta no vacía de conjuntos no vacíos y sea X= \cup_{i \in I} A_{i} la unión de los elementos de dicha familia. Si suponemos que existe una función de elección f:I \rightarrow X, podemos formar el subconjunto S de X dado por

S = \{f(i) : i \in I \},

el cual será no vacío y cumplirá S \cap A_{i} = \{f(i) \} para cada i \in I. Esto prueba el postulado de Zermelo a partir del axioma de elección. Veamos el recíproco. Sea cierto el postulado de Zermelo y sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de conjuntos no vacíos (no necesariamente disjuntos). Para cada i de I, definimos el conjunto B_{i} = A_{i} \times \{i \} y la familia (B_{i})_{i \in I} resultará no vacía y formada por conjuntos no vacíos y disjuntos. Podemos pues aplicar el postulado de Zermelo para obtener un subconjunto S de la unión \cup_{i \in I} B_{i} tal que para cada i de I, la intersección

S \cap(\cup_{i \in I} B_i)

consta de un sólo elemento. Ahora bien, por definición de los B_{i}, la intersección será de la forma (a_{i}, i), con a_{i} \in A_{i} para cada i \in I. Esto nos permite definir una función de elección f sobre la familia (A_{i})_{i \in I}, mediante f(i) = a_{i} para cada i \in I. Por tanto, el postulado de Zermelo implica el axioma de elección y esto termina nuestra demostración.

Como ya hemos indicado otro de los enunciados equivalentes al axioma de elección es el Lema de Zorn. Para definirlo damos antes una serie de nociones básicas sobre orden. Consideremos un conjunto X, no vacío. Sabemos que una relación \preceq definida en X es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un conjunto dotado de una relación de orden parcial se dice parcialmente ordenado y escribimos x \preceq y para indicar que los elementos x e y de X están relacionados mediante el orden, leyéndose x es menor o igual que y. Si x e y son dos elementos de X, se dice que son comparables si x \preceq y o bien y \preceq x. Un conjunto parcialmente ordenado donde todos sus elementos son comparables se dice que está totalmente ordenado.

En un conjunto parcialmente ordenado hay una serie de elementos distinguidos: minimales, maximales, cotas superiores e inferiores y máximos y mínimos. Ya hemos dado la definición de algunos de ellos (minimal y maximal) veremos las de los otros.

Se dice que un elemento u de un conjunto parcialmente ordenado (X, \preceq) es cota superior de un subconjunto M \subset X si para todo m de M es m \preceq u. En el caso de que l \in X verifique l \preceq m, para todo m \in M, se dice que l es una cota inferior de M. La existencia de cotas no está garantizada sin más. Si un conjunto tiene cotas superiores e inferiores se dice que está acotado superior e inferiormente o simplemente que está acotado.  Si una cota superior pertenece al conjunto que acota se dice entonces que es un máximo y si una cota inferior pertenece al conjunto que acota se dice entonces que es un mínimo.

Lema de Zorn.
Sea X un subconjunto no vacío parcialmente ordenado. Si toda parte de X totalmente ordenada tiene una cota superior en X, entonces X posee al menos un maximal.

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Curso EVT. Lectura 7. Las nociones de base y dimensión (2)

En la lectura 5 hemos dado la noción de base de Hamel para un espacio vectorial. En el caso de que el espacio vectorial sea trivial, nuestros convenios conducen de forma natural a considerar que el conjunto vacío es la única base posible para dicho espacio. En efecto, hemos supuesto que el vacío es linealmente independendiente  y que su envoltura lineal es el conjunto \{0 \} y cualquier otro conjunto linealmente independiente y no vacío no podría contener al cero por lo que contendría a un elemento no nulo y su envoltura lineal sería diferente del espacio trivial. Pero si E es un espacio vectorial no trivial no hemos garantizado que tenga base. Eso se consigue mediante la aplicación del lema de Zorn y una serie de resultados previos.

Teorema 1: Sea E un espacio vectorial y supongamos que A es un subconjunto linealmente independiente y no vacío de E. Entonces existe al menos una base de Hamel B de E que incluye a A.

Prueba: Formamos la familia \mathcal{S} de todos los subconjuntos de E que son linealmente independientes y contienen a A. Dicha familia es no vacía pues A \in \mathcal{S}. Establecemos un orden parcial en \mathcal{S} mediante la inclusión. Si \mathcal{H} es una subfamilia de \mathcal{S} que está totalmente ordenada, veremos que el conjunto

M= \cup_{H \in \mathcal{H}} H

es una cota superior de \mathcal{H} que se halla en \mathcal{S}.  En efecto, sea (z_i)_{i \in I} una familia finita de elementos de M. Como M es la unión de los elementos de una familia totalmente ordenada, habrá un H' de dicha familia que contendrá a todos los z_i de dicha familia finita de vectores y, en consecuencia, si planteamos \sum_{i \in I} \lambda_i z_i = 0, sólo obtendremos la solución trivial pues H' es linealmente independiente por definición. En consecuencia, M es también linealmente independiente. Además como A \subset H para todo H \in \mathcal{H}, se sigue que A \subset M y como queríamos probar es M \in \mathcal{S}. Llegados a este punto podemos aplicar el lema de Zorn para afirmar que existe un elemento maximal en el conjunto \mathcal{S}. Esto es, que existe un subconjunto B de E que incluye a A, es linealmente independiente y maximal con estas propiedades. Por ello, B es una base (ver lectura 5).

Ahora podemos dar el resultado central de esta lectura:

Teorema 2: Todo espacio vectorial tiene una base.

Prueba: Si E es un espacio vectorial trivial entonces su única base, como hemos visto, es el conjunto vacío. Si E es no trivial, existe al menos un x \in E tal que x \neq 0. En consecuencia, el conjunto A=\{x\} es linealmente independiente y aplicando el teorema 1, hallaremos una base de Hamel B de E con A \subset B.