Consultorio Matemático (8)

Consulta: Me podrian explicar como tabular 2y + 5x=10

Respuesta: Se trata de una función lineal. Entiendo que quieres obtener una serie de puntos de la gráfica de la función. Para ello lo más cómodo es pasar de la forma en que está, llamada implícita, a una forma explícita donde una variable (x o y) se expresa en función de la otra. En este caso es inmediato que

y = \frac{10-5x}{2} = 5- \frac{5}{2} x

Sólo tienes que dar valores a x para obtener los correspondientes valores de y. Por ejemplo, si x =0, es y = 5 y así obtienes que el punto (0,5) pertenece al grafo de la función. La siguiente imagen te da una idea de cómo es el grafo.

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Consultorio Matemático (7)

Consulta: Tengo que averiguar la distancia f(x) = √(4x² + x + 1)
\”P\” el punto del gráfico F de abscisas y \”Q\” = (0,-1).
Respuesta: Creo que lo que buscas es la distancia entre la gráfica de la función y un punto dado. Supondré que es así y desarrollaré la explicación en base a esto.

En primer lugar, la distancia euclídea entre dos puntos P y Q es la norma del vector PQ. Esto es, si P=(x,y) y Q =(z,t), se tiene que

d(P,Q) = \sqrt{(x-z)^2+(y-t)^2}.

En este caso obtenemos una expresión donde Q es (0,-1) y P es un punto de la curva y =\sqrt{4x^2+x+1}. En concreto, resulta una expresión que depende sólo de x:

d(x) = \sqrt{(x-0)^2+(\sqrt{4 x^2+x+1}+1)^2}.

Debemos buscar el valor mínimo de esta expresión. ¿Por qué? Pues porque la distancia entre punto y curva se entiende como la distancia mínima entre ellos. Para facilitar el cálculo, elevamos d al cuadrado pues el mínimo alcanzado en su cuadrado corresponderá al mínimo de d:

h(x) =d(x)^2 = (x-0)^2+(\sqrt{4 x^2+x+1}+1)^2.

En este punto utilizaremos el cálculo diferencial. Derivamos la función h(x):

h' = 2x + \frac{(8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1)}{\sqrt{4 x^2+x+1}}.

Igualamos a cero y resolvemos:

2x + \frac{(8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1)}{\sqrt{4 x^2+x+1}} = 0,

2x (\sqrt{4 x^2+x+1})+ (8x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1}+1) = 0,

(10x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1})+  (8x+1) = 0,

(10x+1) (\sqrt{4 x^2+x+1})= - (8x+1),

(10x+1)^2 (4 x^2+x+1)=  (8x+1)^2,

(100 x^2+20x+1) (4 x^2+x+1)=  (64x^2+16x+1),

x(80x^3+36x^2+12x+1) = 0,

La solución x=0 no es la única (además no va a ser la solución), existe una solución real de la ecuación

(80x^3+36x^2+12x+1) = 0

pero no es sencillo obtenerla. Debes conocer algo de números complejos y usar una fórmula para la ecuación de tercer grado. Como no sé si esto lo conoces, voy a dar una imagen de la curva para que te hagas una idea:

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El punto más cercano de la curva a (0,-1) tiene una abscisa que está entre -1 y 0 (distancia d) mientras que el punto de abscisa 0 dista d’ que es un “poco” más. En una próxima entrada hablaré de cómo se resuelve la ecuación de tercer grado y podremos terminarlo. Puedes mirar también en:
Distancia mínima a una parábola.

Consultorio Matemático (6)

Consulta: Pasos para escribir un intervalo o una unión de intervalos y representarla en la recta real. ¿Debo resolver la inecuación? Ej: \{ x \in \mathbb{R} : 3x+2 \leq -x- 5 \}

Respuesta: Voy a responderte resolviendo la inecuación o lo que lo es lo mismo expresando de forma explícita el conjunto que has indicado en tu pregunta. La inecuación es de primer grado y su resolución sigue estos pasos:

1. Agrupamos las incógnitas en un lado de la inecuación y el resto de sumandos al otro

3x+x \leq -5-2

2. Operamos y despejamos

4x \leq -7

x \leq -\frac{7}{4}

El resultado es el intervalo ]-\infty, -\frac{7}{4}]. Este caso es relativamente sencillo y no responde del todo a tu consulta. Vamos a ver un caso más complicado.

Sea la inecuación x^2-1 <3. Se trata de una expresión de segundo grado y debemos ponerla en “forma normal”

x^2-1-3 <0 \rightarrow x^2-4 <0.

Ahora resolvemos la ecuación asociada: x^2-4 = 0, que tiene las soluciones reales x= -2 y x =2. Estos valores nos llevan a considerar los intervalos (debido a que la desigualdad es estricta no tomo los extremos):

]-\infty, -2[, ]-2, 2[, ]2,\infty[.

Ahora tomamos un punto p de cada intervalo y calculamos el signo de p^2-4. Vemos que esta expresión es positiva en ]-\infty, -2[ y en ]2, \infty[ por lo que la solución es la unión de estos dos intervalos. El siguiente gráfico aclara este punto

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Como ves la parte de la gráfica situada por encima del eje de abscisas (eje de las x) es la que corresponde a las abscisas situadas en los intervalos que hemos obtenido.

El tema de las inecuaciones es bastante amplio pero si consideras sólo las de tipo polinómico o racional se pueden tratar de forma similar a lo ya visto. Para ampliar puedes ver los siguientes enlaces

Enlace 1
Enlace 2

Consultorio Matemático (5)

Consulta: Demostrar que un número multiplicado por cero es cero.
Respuesta: Aunque la pregunta es clara y sencilla la respuesta pasa por conocer una serie de fundamentos de álgebra. Primero vamos a escoger la estructura algebraica más sencilla para la que este enunciado es cierto.

Decimos que un conjunto A dotado de dos operaciones o leyes de composición interna que indicaremos de forma aditiva y multiplicativa, es un anillo si respecto a la operación aditiva es un grupo abeliano, respecto a la ley multiplicativa es asociativa y la ley multiplicativa es distributiva respecto a la aditiva. Es decir, para cualesquiera a,b,c de A

(1) (a+b)+c = a+(b+c)
(2) a+b = b+a
(3) a+0 = a, donde 0 es el cero o neutro aditivo (este es el que te interesa)
(4) Para todo a existe -a \in A tal que a+(-a) = 0
(5) (ab)c= a(bc)
(6) a(b+c) = ab+ac
(7) (a+b)c = ac+bc

Ahora probaremos que si estas propiedades son ciertas, entonces 0a = a0 = 0 para cualquier a \in A. En primer lugar, vemos que

a (0+0) = a0 +a0

si nos fijamos en la propiedad distributiva (6). Pero tenemos que 0+0 = 0 por la propiedad (3). Por tanto, podemos escribir

a (0+0) = a0 = a0 +a0.

Ahora utilizando la existencia de elemento simétrico (4) y la propiedad asocitaiva (1) vemos que

a0-a0 = (a0 +a0)-a0.

0 = (a0 +a0)-a0 = a0 +(a0-a0) = a0+0 = a0.

Esto es, 0 = a0. La demostración de que 0a = 0 es análoga.

Consultorio Matemático (4)

Consulta: el 20% de los 600 alumnos que asisten al colegio \”estudiosísimos\” practican fútbol y el 6% natación .Solo el 15 % estudian un idioma ¿ Cuántos alumnos no estudian idioma ? ¿ Cuántos alumnos practican cada uno de los deportes ?
Respuesta: Sean F el conjunto de los alumnos que practican fútbol, N el conjunto de los que practican natación e I el conjunto de los que estudian un idioma. Con los datos que nos dan y llamando E al conjunto de todos los alumnos tenemos

|F| = 120, |N|= 36, |I| = 90.

Si no he entendido mal, se nos piden los cardinales de E-I y de F-N (sólo practica fútbol) y N-F (sólo practica natación). En cuanto a los que no estudian un idioma es inmediato que |E-I| = 600-90 = 540 o, en porcentaje, el 85 % de los que asisten no estudian un idioma.

Para conocer los cardinales de F-N y de N-F, tenemos que conocer el número de aquellos que practican ambos deportes. Es decir, el cardinal de F \cap N. Pero el problema no da suficientes datos para calcularlo. Si por ejemplo, supiéramos cuántos de los alumnos practican algún deporte podríamos calcular este cardinal mediante

|F\cup N| = |F|+|N|- |F \cap N|

Por tanto, no se puede dar una respuesta única.

Consultorio Matemático (3)

Consulta: calcular la suma de los cuatro primeros números de tres cifras que sean primos.

Respuesta: es sencillo ver que los cuatro primeros números de tres cifras que son primos son

101
103
107
109

Para ello podemos usar la criba de Erastótenes (procedimiento tedioso pero infalible) o bien utilizar cualquiera de los algoritmos más simples para detectar si un número es primo. Por ejemplo, sabemos que para detectar si un número es primo no es necesario dividirlo por todos los menores que él, basta con usar sólo aquellos números impares mayores que uno y menores o iguales que su raíz cuadrada.

Una vez conocidos estos números su suma es inmediata: 10+103+107+109 = 420.

Consultorio Matemático (2)

Consulta: encuentra la ecuacion de la recta que es paralela a y=3x-2,y pasa por el punto(-1;2).

Respuesta: Vamos a dar la respuesta utilizando la forma punto-pendiente:

y- y_0 = m(x-x_0)

Es decir, necesitaremos la pendiente de la recta m y un punto (x_0,y_0) de dicha recta. El punto ya lo tenemos por lo que bastará encontrar la pendiente.

La recta y = 3x-2 está dada en forma explícita por lo que su pendiente es igual al escalar que multiplica a la variable x, es decir,

m = 3.

Por tanto, la ecuación buscada es

y -2 = 3 (x+1) .

La siguiente gráfica nos muestra ambas rectas
consulorio2