Consultorio Matemático (15)

Consulta: Un móvil parte de un punto de una circunferencia de 15 m de radio, siguiendo la dirección de la tangente en dicho punto, se desplaza durante 2 h a una velocidad de 20 m/h. ¿ A qué distancia del centro de la circunferencia se encontrará al cabo de dicho tiempo?
Respuesta:
Suponemos un movimiento rectilíneo y uniforme. En tal caso, la distancia al centro es la hipotenusa del triángulo que tiene por lados el radio y la trayectoria del móvil. El siguiente dibujo ilustra esta idea:

consu15

La distancia d es igual a la velocidad por el tiempo

d = 20 m/h \cdot 2 h = 40 m.

Por tanto,

x^2 = d^2 + 15^2 = 40^2+15^2,

x = \sqrt{40^2+15^2} m.

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Consultorio Matemático (14)

Consulta: ¿Para qué valores de m la ecuación
(m-1)((X^2)-2mX+m-2)=0
tiene dos raíces diferentes con signos negativos?
Respuesta: Voy a suponer que tu consulta se refiere a la ecuación

(m-1) x^2 - 2m x + (m-2) = 0.

donde m es un número real y que buscas sólo soluciones reales. Debes fijarte en el valor del discriminante

\Delta =4m^2 - 4 (m-1)(m-2)

Si este valor es mayor que cero entonces tiene dos raíces reales diferentes. Pero el problema nos pide que ambas sean negativas. Para la primera condición tenemos que

4m^2 - 4 (m-1)(m-2)= 4m^2-4m^2+12m-8 =12m-8 >0

m > \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.

Por tanto si m es un número real mayor que 2/3, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Si queremos que sean negativas, entonces

2m -\sqrt{\Delta} <0

2m +\sqrt{\Delta} <0

Pero si m es mayor que 2/3 será positivo y al sumar con la raíz positiva del discriminante no dará lugar a número negativo. Por ello solo tenemos en cuenta la primera desigualdad y operamos con ella:

4m^2 < \Delta = 12m-8,

4m^2-12m+8 <0, m^2-3m+2 <0

Esta última inecuación tiene por solución el intervalo abierto (1,2). Como vemos en la siguiente gráfica (cortesía de wolframalpha.com).

MSP258521agbhdaigb0bh5500005cd1375eb8ehdb5b

Teniendo en cuenta las dos desigualdades obtenidas para m, vemos que si
\frac{2}{3} < m <1, se cumplen las condiciones pedidas. Por ejemplo, para m= 0,9 es (0,9-1) x^2 - 2 \cdot 0,9 x + (0,9-2) = 0, que da lugar a la ecuación

-0,1 x^2 -1,8 x -1,1=0

cuyas soluciones son diferentes y negativas.

Consultorio Matemático (13)

Consulta: Las diagonales de un paralelogramo se cortan en los puntos medios. Una de las diagonales mide 8 cm y la otra mide 6 cm. y el angulo que se forma entre ellas es de 50 grados. Encuentra las medidas de los lados del paralelogramo.

Respuesta: Lo mejor es dibujar a partir de los datos:

paralelogramo

Si el ángulo formado entre las diagonales fuera de 50 grados sexagesimales, entonces el otro ángulo posible entre dichas diagonales sería de 130 grados como puedes apreciar a partir del dibujo. Si llamamos P al punto medio podemos formar los triángulos APB y BPC. De estos triángulos conocemos dos lados y el ángulo entre ellos por lo que podemos aplicar el teorema del coseno

triangulo1

y^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos 130

Una operación similar hacemos con el triángulo BPC para hallar el valor de x.

Consultorio Matemático (12)

Consulta: se tiene un segmento MN que intersecta al eje x y cuya longitud es igual a 13 unidades. Si M tiene como coordenadas a (3, -2) y la proyección de MN sobre el eje de abscisas es igual a 12. Halle las coordenadas del otro extremo del segmento.

Respuesta: Consideremos el vector \overline{MN}. Conocemos de dicho vector uno de sus extremos (M) y nos falta por conocer el otro (N). Ahora bien, como sabemos que su módulo es 13 (pues es la longitud del segmento MN), resulta que si N=(x,y), entonces

|\overline{MN}|=\sqrt{(x-3)^2 + (y+2)^2} = 13.

La proyección de un vector sobre el eje de abscisas se obtiene utilizando el producto escalar. Recordemos que si u y v son vectores, entonces la proyección de u sobre v es igual a proy_u (v) =|u| \cos \alpha, siendo \alpha el ángulo que forman entre ellos. Por tanto, u \cdot v = |u| |v| \cos \alpha = |v| (proy_u (v)) y en nuestro caso, llamando i al vector unitario que da la dirección del eje de abscisas, tenemos

\overline{MN} \cdot \overline{i} = |i| proy_{\overline{MN}}(i) = 1 \cdot 12 =12

Pero sabemos que

\overline{MN} \cdot \overline{i} = (x-3)\cdot 1 + (y+2) \cdot 0 = (x-3).

Luego

(x-3) =12.

Esto significa que x= 15 y de aquí

\sqrt{(12)^2 + (y+2)^2} = 13 ,

12^2 + (y+2)^2 = 13^2,

12^2 + (y+2)^2 = 13^2,

(y+2)^2 = 13^2-12^2 =(13-12)(13+12) = 25 ,

y+2 =  5, -5 ,

y =  3,-7 .

Tenemos entonces que N =(x,y) = (15,3), (15,-7).

Consultorio Matemático (11)

Consulta: Un vector de sentido contrario al vector v=(3,-4) y que tenga el módulo el doble.
Respuesta: Primero calculamos el módulo del vector dado. Resulta

\sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt {9+16} =\sqrt{25} = 5.

Por tanto buscamos un vector de módulo 10 y que tenga sentido contrario al dado. Es decir, el ángulo entre ellos es de \pi radianes. Sea dicho vector (x,y), entonces

x^2+y^2 = 100.

El producto escalar entre dos vectores del espacio euclídeo puede darnos el ángulo entre ellos. Recordemos que si u,v son vectores, su producto escalar es u \cdot v  = |u| |v| \cos \theta, donde \theta es el ángulo mínimo formado entre ellos. Además, si u= (a,b) y v=(c,d), su producto escalar es u \cdot v = ac+bd. Teniendo en cuenta lo que sabemos, resulta

(x,y) \cdot (3, -4) = 3x-4y = 5 \cdot 10 \cos \pi = -50.
Así pues, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que pasamos a resolver:

x = \frac{1}{3} (4y-50)

(\frac{1}{3} (4y-50))^2+y^2 = 100

(\frac{1}{9} (16y^2-400y+2500)^2+y^2 = 100

16y^2-400y+2500+9y^2 = 900

25y^2-400y+1600 =0

Esta ecuación de segundo grado se resuelve utilizando la conocida fórmula y obtenemos una única solución y=8. Esto nos permite obtener el valor de x mediante

x = -6.

El vector buscado es el (x,y)=(-6,8). Pero existe una forma más “elegante” de resolver este problema utilizando números complejos. El vector (3.-4) se considera como el número complejo
z= r \exp^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta),
donde r es el módulo de dicho vector y \theta es el ángulo menor de \pi radianes que forma dicho vector con el eje de abscisas. En este caso,
z = 5 \exp^{i \theta},
donde
\theta = \arctan \frac{-4}{3}.
Si le sumamos \pi radianes a este ángulo y ponemos por módulo 10 tenemos el vector buscado
w = 10 \exp^{i (\pi+\theta)}= 10 (\cos (\pi+\theta)+i \sin (\pi+\theta)) =
10 (-\cos \theta -i \sin \theta).
Como sabemos que \theta está en el IV cuadrante y que
\cos \theta = \sqrt{ \frac{1}{1+\tan^2 (\theta)}}
\sin \theta = \sqrt{1- \cos^{2} (\theta)},
tenemos que
\cos \theta = -\sqrt{ \frac{1}{1+\frac{16}{9}}}= -3/5,
\sin \theta = \sqrt{1-\frac{9}{25}} =4/5 ,
que sustituidas dan
w= 10 (-3/5 + i 4/5)= -6+8i = (-6,8).

Consultorio Matemático (10)

Consulta: Hola, soy nueva. Pregunto sobre vectores: Tengo 2 vectores de los cuales son equipolentes por lo tanto el mismo módulo
AB i CD
Como calculo D si
A(3,0) B(9,3) i C(-8,5)
Espero que me ayuden. Muchas gracias.

Respuesta: Para que dos vectores sean equipolentes sus “componentes” han de ser las mismas. Las componentes de un vector en el espacio afín \mathbb{R}^2 se puede obtener utilizando los puntos (a,b) de su origen y (c,d) de su extremo, mediante

u = c-a, v= d-b.

Aplicando esto a tu problema vemos que el vector AB tiene por componentes

u = 6, v=3.

Como el vector CD es equipolente a AB, llamamos D=(x,y) y resulta que

6 = x+8, 3=y-5.

Fácilmente resulta
x= -2, y=8.

Como se observa no necesitas calcular sus módulos. En realidad, existen una infinidad de vectores que tienen el mismo origen y módulo pero diferentes extremos como muestra la siguiente imagen

vectores

Pero sólo uno de ellos es equipolente a AB y es el calculado.

Consultorio Matemático (9)

Consulta: Cuando Ana salió de casa , las agujas del reloj formaban un ángulo agudo y faltaba una hora para que fuera recto. ¿Qué hora era?

Respuesta: Ufff… Aquí hay mucha más miga de lo que parece. En principio vamos a considerar el tiempo como continuo a efectos de cálculo y vamos a usar esta hipótesis para hallar las posiciones en las que el minutero y el horario forman un ángulo de 90 grados sexagesimales (o pi/2 radianes). Partimos de las doce en punto y consideramos esa hora como la referencia para nuestros cálculos. El ángulo lo medimos en sentido horario (pues es más cómodo).

reloj1

Como el minutero tarda justo una hora en dar una vuelta de 360 grados, su velocidad angular es de

\omega_m = \frac{360}{60} = 6 grados\minuto.

En cuando a la aguja horaria, tarda 3 horas en recorrer 90 grados y su velocidad angular es de

\omega_h = \frac{90}{180} = 0,5 grados\minuto

Es fácil ahora obtener el ángulo recorrido en un tiempo dado por ambas agujas. Sólo habrá que multiplicar la velocidad angular por el tiempo. Pero a nosotros nos interesa que la diferencia entre el ángulo recorrido por ambas sea 90 grados y así formen justamente un ángulo recto. Llamando \alpha_m al ángulo recorrido por el minutero a partir de las doce y \alpha_h al recorrido por la aguja horaria, tenemos:

\alpha_m - \alpha_h = 6t-\frac{1}{2}t = 90

\frac{11}{2}t = 90

t = \frac{2 90}{11} = \frac{180}{11} = 16,36363636 ... minutos

Es decir, a las doce y 16 minutos y 21,818181…. segundos.

reloj2

Pero al tener una separación angular de 270 grados volvemos a tener un ángulo recto (aunque medido en sentido usual o antihorario). Es decir

\frac{11}{2}t = 270

t = \frac{2 \cdot 270}{11} = \frac{540}{11} = 49,090909 ... minutos

Esto es a las 12 y 49 minutos y 5,45454…. segundos

reloj3

Siguiendo con este razonamiento escribimos

\frac{11}{2}t = (2k+1) 90, k=0,1,2, ...

t = \frac{180}{11} (2k+1), k=0,1,2, ...

Obviamente, el proceso es cíclico y nos interesa ver cuándo se repite. Esto ocurrirá si al poner un valor de k llegamos a superar el de valor de t = 720 minutos (es decir, 12 horas). Con esto en mente, vemos que las soluciones son

t = \frac{180}{11} (2k+1) \leq 720,

k \leq (720 \frac{11}{180}-1) /2,

0 \leq k \leq 21,

Así pues hay 22 posibilidades en 12 horas con un reloj que mide forma “continua” el tiempo. Entre ellas están las 3 y las 9 que son las únicas soluciones enteras. Esto nos muestra que una hora hay dos posiciones posibles a excepción de la hora entre las dos y las tres y las ocho y las nueve donde sólo hay una. ¿Pero qué pasa si el reloj sólo marca los minutos exactos? En ese caso sólo tenemos a las tres y a las nueve como únicas soluciones y para que el ángulo agudo sea una hora antes sólo es posible que salga a las dos (de la tarde o la mañana) y llegue a las tres (de la tarde o la mañana).