Consultorio: Una desigualdad a demostrar (II)

Vamos a demostrar la desigualdad de la entrada anterior:

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n,

utilizando la desigualdad de la media aritmética y geométrica. Esto es, utilizando el hecho de que si a_1, a_2, \ldots, a_n son n números reales positivos, entonces

\frac{ a_1+ a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{ a_1 a_2 \cdots a_n}.

Como hemos visto antes, podemos escribir

A_n =\frac{a_1+ a_2 + \ldots +a _n}{n} = \frac{ (n-1) A_{n-1} + a_n}{n}.

Por lo que si aplicamos la desigualdad de la medias aritmética y geométrica a los n términos

A_{n-1}, \ldots A_{n-1},  (n-1 veces),

a_n,

tenemos

A_n = \frac{(n-1) A_{n-1} + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{A_{n-1}^{n-1} a_n}

luego

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n.

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Consultorio: Una desigualdad a demostrar

Sea n un entero positivo mayor o igual que 2 y sean a_1, a_2, \ldots, a_n números positivos. Si definimos su media aritmética como
A_n = \frac{a_1+ \ldots +a_n}{n}
se nos pide demostrar sin usar la desigualdad de las medias aritmética y geométrica que
A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n.
Creo que he encontrado una demostración y aquí la expongo para que me corrijáis si es necesario.
Supongamos que n \geq 2 está dado. Entonces podemos considerar, sin pérdida de generalidad que
a_1 \leq a_2 \ldots \leq a_{n-1} \leq a_n.
Recordemos esta hipótesis para más adelante. Ahora vemos que
A_{n-1} = \frac{a_1+\ldots+a_{n-1}}{n-1}
por lo que
(n-1)A_n = a_1+ \ldots a_{n-1}.
Por ello
A_{n} = \frac{a_1+\ldots+a_{n-1}+a_n}{n}
puede ponerse como
nA_{n} = (n-1) A_{n-1} +a_n.
Esto nos sirve para despejar a_n y así la desigualdad buscada queda (aparentemente más difícil) como
A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} (nA_{n} - (n-1) A_{n-1}).
Vamos a simplificar un poco
A_{n}^{n} \geq n A_{n-1}^{n-1} A_{n} -nA_{n-1}^{n} + A_{n-1}^{n},
A_{n}^{n} - A_{n-1}^{n} \geq n A_{n-1}^{n-1} (A_{n} - A_{n-1}).
Ahora debemos recordar la siguiente igualdad
a^{n} -b^{n} = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k}
(ver “Análisis Matemático” de T.M. Apostol, Segunda Edición, pág. 31).
En efecto, esta igualdad nos permite afirmar que si a \neq b
\frac{a^{n}-b^{n}}{(a-b)} = \sum_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k}
por lo que en este caso, si A_n \neq A_{n-1} tenemos
\frac{A_{n}^{n} - A_{n-1}^{n}}{(A_{n} - A_{n-1})} \geq n A_{n-1}^{n-1},
\sum_{k=1}^{n} A_{n}^{k-1} A_{n-1}^{n-k} \geq n A_{n-1}^{n-1}.
En este punto veremos que con la hipótesis
a_1 \leq a_2 \leq \ldots a_n, se tiene
A_{n-1} \leq A_n.
En efecto, si la desigualdad fuera cierta entonces
\frac{a_1+ \ldots + a_{n-1}}{n-1} \leq \frac{a_1+ \ldots+ a_n}{n},
n (a_1+ \ldots + a_{n-1}) \leq (n-1) (a_1+ \ldots + a_{n-1})+ (n-1) a_n,
(n-(n-1))(a_1+ \ldots a_{n-1}) \leq (n-1) a_n,
a_1+ \ldots + a_{n-1} \leq (n-1) a_n.
Pero como hemos supuesto que a_i \leq a_n, para i=1,2, \ldots, n-1 vemos que esta última desigualdad es cierta.
Por tanto,
A_{n-1}^{k} \leq A_{n}^{k}, para k=0,1,2, \ldots, lo que supone que si tomamos k=0, \ldots, n-1, entonces
A_{n-1}^{k}A_{n-1}^{n-1-k} \leq A_{n-1}^{n-1} A_{n}^{n-1-k}.
Es decir
A_{n-1}^{n-1} \leq A_{n}^{k} A_{n-1}^{n-1-k}, k=0,1, \ldots, n-1,
lo que equivale a
A_{n-1}^{n-1} \leq A_{n}^{k-1} A_{n-1}^{n-k}, k=1,2, \ldots, n.
Finalmente, sumando estas expresiones tenemos
n A_{n-1}^{n-1} \leq \sum_{k=1}^{n} A_{n}^{k-1} A_{n-1}^{n-k}
que es la forma equivalente de la desigualdad buscada.

Si fuera A_n = A_{n-1}, entonces  a_1 = a_2 = \ldots =a_n =a,  por lo que

A_n^{n} = a^{n} = a^{n-1} a = A_{n-1}^{n-1} a_{n}.

En cualquier otro caso la desigualdad sería estricta.

Desigualdades simples con valor absoluto

Vamos a explicar cómo se resuelven inecuaciones del tipo

|f(x)| \leq (<) b,

|f(x)| \geq (>) b,

donde f(x) es un función polinómica con grado mayor o igual que uno y b es un número real positivo. Para ello vamos a usar la idea de “distancia” que pasamos a definir.

Una función d: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} es una métrica o distancia si verifica

a) d(x,y) \geq 0, para todos (x,y) \in \mathbb{R}^2.

b) d(x,y)=d(y,x), para todos x,y \in \mathbb{R}.

c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

d) d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z), para todos x,y,z \in \mathbb{R}.

Es fácil comprobar que la función

f(x,y) = |x-y| es una métrica. Gráficamente nos da la distancia geométrica entre los puntos x e y de la recta real y como

f(x,0)= |x-0| = |x|

vemos que el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al origen. Usando estas ideas vamos a desarrollar el método general para la resolución de inecuaciones sencillas con valores absolutos. Vamos a verlo con un ejemplo. Consideremos la inecuación

|x^2-3x+1| \geq 2.

La reescribimos como

|x^2-3x-(-1)| \geq 2

y recordando la definición de distancia, si hacemos y=x^2-3x, entonces equivale a

d(y,-1) \geq 2.

Por tanto, buscamos los y que sean mayores o iguales que -1+2=1 o bien menores o iguales  que -1-2=-3. En resumen, debemos resolver las inecuaciones

x^2-3x \leq -3,

x^2-3x \geq 1.
Estas inecuaciones son polinómicas y resultan sencillas de resolver. El primer paso es ponerlas en forma normal:

x^2-3x+3 \leq 0,
x^2-3x-1 \geq 0.

La primera no tiene solución (ver gráfica en rojo) y la segunda (en azul) tiene por solución el conjunto ]-\infty, \frac{3-\sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{3+\sqrt{13}}{2}, +\infty[. Esta es la solución buscada.

graficaconsultorio3

En general, si tenemos
|f(x)| \leq (<) b
lo interpretamos como la distancia entre f(x) y 0 y así la solución se halla a través de las inecuaciones
-b \leq (<) f(x) \leq (<) b

y si tenemos |f(x)| \geq (>) b entonces la solución se halla a través de las inecuaciones

f(x) \geq (>) b

f(x) \leq (<) b.

Podemos simplificar un poco el proceso mediante algunas simplificaciones como en el ejemplo pero todo dependerá de la dificultad del polinomio.

Respuestas consultorio 2 16-09-2015

Consulta: Hola. Me piden realizar el estudio completo y gráfico aproximado de la siguiente función: f(x)=x^3-6x^2-15x+40 Los pasos a seguir que nos dio el profesor fueron los siguientes:
1) Dominio e intersección con los ejes.
2)Paridad, simetría.
3) Continuidad y asíntotas.
4) Análisis de f´´(x) = crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo locales.
5) Análisis de f´´(x)= Concavidad, punto de inflexión.
6) Gráfico aproximado.
7) Imágen, máximo o mínimos absolutos.
Les pido por favor si pueden ayudarme con los primeros 4 pasos al menos, ya que he faltado a las últimas clases por falta de tiempo, por trabajo, he pedido los apuntes y he hecho algunos ejercicios, pero más sencillos, este no he podido resolverlo. Desde ya muchas gracias.

Vamos a proceder. En primer lugar, la función es polinómica por lo que es indefinidamente derivable con continuidad. Esto es muy importante pues garantiza la aplicación de la inmensa mayoría de los teoremas relativos a las cuestiones que planteas.

  1. Dominio: Es evidente que el dominio es toda la recta real. La intersección con el eje de ordenadas se obtiene haciendo x =0 y resulta el punto (0,40). La intersección con el eje de abscisas se obtiene haciendo y=0. Esto es, resolviendo la ecuación

x^3-6x^2-15x+40 =0.

Ahora bien esta es una ecuación de tercer grado y podemos resolverla aplicando directamente la fórmula de Cardano-Viéta o buscando raíces con el teorema del resto. Evidentemente nos interesan sólo las raíces reales. Si las raíces fueran divisores del término independiente, esto es, divisores de 40 tendríamos suerte. Lamentablemente no es así como puedes comprobar con facilidad pues los divisores son

\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 20, \pm 40 \}

y ninguno de ellos es raíz de la ecuación. Por tanto, deberíamos utilizar las fórmulas de Cardano-Vieta pero no lo voy a hacer aquí (aunque lo explicaré en otra entrada).

2. No tiene simetrías respecto a los ejes ni al origen. Puesto que f(x) \neq f(-x) no es par y como f(-x) \neq -f(x) tampoco es impar. Cualquier otra simetría no es apreciable de forma directa.

3. Es una función polinómica por lo que es continua y no tiene asíntotas ni horizontales ni verticales ni oblicuas.

4. Llegamos al punto interesante. Vamos a derivar y obtenemos otra función polinómica de grado menor (más manejable como verás)

f'(x) = 3x^2-12x-15.

Buscamos los ceros de esta función

3x^2-12x-15=0,

dividimos por 3 ambos miembros de la igualdad quedando

x^2-4x-5 = 0.

Las soluciones de esta ecuación son -1 y 5 como puedes comprobar sin más que utilizar la fórmula para la ecuación de segundo grado. Estas soluciones permiten un estudio completo del crecimiento y los extremos de esta función. Dividimos la recta real en tres intervalos utilizando los puntos dados:

(-\infty, -1), (-1,5),(5, +\infty).

Estudiamos el signo de la derivada en dichos intervalos.  Esto es fácil pues basta mirar la gráfica de la derivada o bien sustituir el valor de un punto de cada intervalo en la fórmula de la derivada y calcular para obtener el signo.

graficaconsultorio2

Como podemos ver, la derivada es positiva en (-\infty, -1) y (5,+\infty) y negativa en (-1,5). Al ser dicha derivada una función continua y existir en todo dominio de f podemos afirmar que f es creciente en (-\infty, -1) y decreciente en (-1,5) luego -1 es un máximo local. Del mismo modo al ser de nuevo creciente en (5, +\infty), vemos que 5 es un mínimo local. No existen máximos y mínimos globales pues la función es tan pequeña como se quiera pues

\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = - \infty,

y tan grande como se quiera pues

\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty.

5. La concavidad y convexidad se pueden estudiar fácilmente en este caso. Bastará obtener la segunda derivada

f''(x) = 6x-12.

Planteamos la ecuación

6x-12 = 0

y obtenemos una única solución x =2. Así dividimos la recta real de nuevo en dos intervalos

(-\infty, 2), (2, \infty).

La continuidad de la segunda derivada nos permite mediante el estudio del signo en estos intervalos obtener los puntos de inflexión. Así pues, es negativa en (-\infty, 2) y esto significa que f es cóncava en ese intervalo y es positiva en (2, \infty) por lo que será convexa en el otro intervalo. En definitiva, 2 es punto de inflexión.

6. Con lo visto ya puedes hacerte un gráfico aproximado. Para ello debes obtener las imágenes de los puntos notables que son -1,2 y 5. Es decir,

f(-1) = 48, f(2) =-6, f(5)=-60

graficaconsultorio3

Por cierto, así puedes apreciar que va a tener tres raíces reales.

Respuestas consultorio 15-09-15

Pregunta:  Hola, tengo un problema acerca de un triángulo. Me dan las coordenadas de sus dos vértices A(2,2) B(10,8) y el área del triángulo ABC, 25. Pero me piden el tercer vértice C. He intentado con sistemas de ecuaciones pero no me resulta. Agradecería su ayuda por favor. De antemano, el resultado es (9,1) o (3,9).

Respuesta:

Creo que la mejor forma de abordar la cuestión es utilizar el producto vectorial. Dados dos vectores \overline{u} y \overline{v} del espacio euclídeo \mathbb{R}^3,  su producto vectorial es un nuevo vector \overline{w} = \overline{u} \times \overline{v} que tiene por módulo

|\overline{u} \times \overline{v}|= |\overline{u}| |\overline{v}| \sin{\alpha},

donde \alpha es el ángulo que forman ambos vectores. La dirección de \overline{w} es perpendicular al plano que determinan \overline{u} y \overline{v} y su sentido se obtiene mediante la llamada “regla del sacacorchos” que nos dice que se avanza del primer vector \overline{u} al segundo \overline{v} como si se tratara del giro de un sacacorchos. Según “suba” o “baje” se consigue el sentido buscado.

Aquí vamos a utilizar vectores del plano pero esto no supone mayor problema pues podemos suponer que son vectores del espacio \mathbb{R}^3 con su tercera componente nula. La clave de la cuestión es que gracias al módulo del producto vectorial vamos a poner en relación las coordenadas de los vértices con el área del triángulo. La siguiente figura nos muestra de una manera sencilla cómo hacerlo
Documento escaneado
El área del triángulo es
A_t = |\overline{AB}| h / 2
Esto es, base por altura partido por 2. En este caso, la base es el módulo del vector \overline{AB} y la altura se obtiene mediante
\sin \alpha = \frac{h}{|\overline{AC}|}.
Por tanto, tenemos que el área es
A_T = \frac{|\overline{AB}| |\overline{AC}| \sin \alpha }{2} = \frac{|\overline{AB} \times \overline{AC}|}{2}
Pero , ¿cómo hallar el producto vectorial? Basta utilizar el cálculo de determinantes (vamos a prescindir de la línea encima de los vectores para simplificar la escritura). Así tenemos que si u=(x,y,z), v=(r,s,t), entonces llamando i,j,k a los vectores unitarios del espacio euclídeo \mathbb{R}^3, tenemos
u \times v = \left\| \begin{bmatrix}  i & j & k \\  x & y & z \\  r & s & t  \end{bmatrix} \right\| = i (yt-sz)-j(xt-rz)+k(xs-ry).
En nuestro caso va a resultar mucho más sencillo pues la tercera componente de ambos vectores es cero
AB \times AC = \left\| \begin{bmatrix}  i & j & k \\  8 & 6 & 0 \\  x-2 & y-2 & 0  \end{bmatrix} \right\| = k(8(y-2)-6(x-2)).
El módulo de este vector es
|AB \times AC| = |k(8(y-2)-6(x-2))| = |8y-16-6x+12| = |8y-6x-4|.
Por tanto si A_T = 25, entonces
2 \cdot 25 = |8y-6x-4|.
Como ves tenemos la ecuación de dos rectas correspondientes a las opciones del valor absoluto:

8y-6x- 54 = 0,

-8y+6x-46 = 0.

Esto era de esperar pues el vértice C puede hallarse “arriba” o “abajo” del lado AB sin que cambie el valor del área. Al sustituir los puntos que me das, vemos que (3,9) pertenece a la primera recta y (9,1) a la segunda. Es decir, ambos son soluciones.  Sin embargo, esta no es la mejor aproximación al problema. En el primer comentario de esta entrada está la solución desde un punto de vista más simple y completo. Una solución debida a Ignacio Larrosa y que recomiendo que leas.

Ecuaciones trigonométricas (2)

Continuamos resolviendo algunas ecuaciones trigonométricas.  En este caso nos atrevemos con la siguiente:

\tan 2x -4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x.

Emplearemos las fórmulas del ángulo doble y el desarrollo buscará factorizar de alguna manera la expresión. Empezaremos con la tangente del ángulo doble:

\tan 2x = \frac{ \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }.

Sustituimos y sacamos factor común

\frac{ 2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-4 \sin x \cos x + 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1}{\cos^{2} x - \sin^{2} x }-2)+ 1 = 4 \sin^{2} x.

Operamos el paréntesis y tenemos en cuenta que $1 = \cos^{2} x + \sin^{2} x$ (identidad pitagórica),

(2 \cos x \sin x) (\frac{ 1-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+ 1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ \cos^{2} x+ \sin^{2} x-2\cos^{2} x +2  \sin^{2} x }{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) +1 = 4 \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{ + 3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x})+1 = 4 \sin^{2} x.

Pasamos el $1$ al otro miembro y volvemos a utilizar la identidad pitagórica

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -1,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 4 \sin^{2} x -\cos^{2} x - \sin^{2} x,

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) = 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x.

En este punto identificamos un factor común en ambos miembros: 3\sin^{2} x-\cos^{2} x. Por tanto, tenemos

(2 \cos x \sin x)(\frac{  3\sin^{2} x-\cos^{2} x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x}) - 3 \sin^{2} x -\cos^{2} x =0,

( 3\sin^{2} x-\cos^{2} x)(\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1) = 0.

Quedan entonces dos ecuaciones sencillas

3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0, (1)

\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 = 0, (2)

que pasamos a resolver

(1) 3\sin^{2} x-\cos^{2} x = 0,

3 \sin^{2} x - (1 - \sin^{2} x) = 0,
4 \sin^{2} x =1,
\sin^{2} x= \frac{1}{4},
\sin x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}.

(2) \frac{2 \cos x \sin x}{\cos^{2} x - \sin^{2} x} -1 =0,

\frac{ \sin 2x}{\cos 2x} =1,
\tan 2x =1.

El resto se deja al cuidado del lector.

Una ecuación trigonométrica

Vamos a resolver una ecuación trigonométrica:

\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0.

Pero primero vamos a demostrar la siguiente identidad trigonométrica:

\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}. (1)

Bastará utilizar las conocidas expresiones para el seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos:

\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y,
\sin (x-y) = \sin x \cos y - cos x \sin y.

Haciendo x +y = A y x-y = B, despejando x e y en función de A y B y sustituyendo, tendremos la expresión (1). Pasamos a resolver la ecuación pero antes agrupamos en la forma

(\sin x+ \sin 3x) +(\sin 2x + \sin 4x) = 0.

Procedemos con los cálculos a partir de (1) en cada paréntesis:

2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} + 2 \sin \frac{2x+4x}{2}  \cos \frac{2x-4x}{2} = 0,
2 \sin 2x \cos (-x) + 2 \sin 3x + \cos (-x) = 0,
2 \cos (-x) (\sin 2x + \sin 3x) = 0,
-2 \cos x (2 \sin \frac{2x+3x}{2} \cos \frac{2x-3x}{2}) = 0,
-4 \cos x \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{-x}{2} = 0,
4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{5x}{2} = 0.

Por tanto, tenemos tres ecuaciones:

\cos x =0, (2)
\cos  \frac{x}{2} =0, (3)
\sin \frac{5x}{2} = 0, (4)

cuyas resoluciones son muy sencillas.