Visión topológica del límite de sucesiones reales

La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades que se mantienen inalteradas mediante transformaciones continuas. Su aplicación en el Análisis es fundamental y esclarecedora. En particular, vamos a ver cómo definir el límite de una sucesión de números reales de una manera topológica extremadamente sencilla.

Sea p un punto de la recta real. Un entorno de p de radio r >0 no es más que el intervalo

(p-r, p+r).

Una sucesión (a_n) de números reales se puede concebir como una lista ordenada e infinita de números reales

(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots ),

donde por supuesto pueden existir elementos repetidos (incluso infinitos elementos repetidos). Por ejemplo, la sucesión

(1,2,2,2,2,2,2, \ldots ),

cuyo término general es a_n =1 si n=1, a_n =2 si n \geq 2 .

Pues bien, una sucesión a_n es convergente a p o bien tiene por límite p si y sólo si para cada entorno de p podemos encontrar una infinidad de términos de la sucesión dentro de él y una cantidad finita fuera. En símbolos, para todo r>0 existe m tal que si n \geq m se tiene que

a_n \in (p-r, p+r).

Lo importante es que esto ocurra para cualquier r>0.

sucesion-1

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Funciones monótonas (I)

Sean (A, \leq) y (B,\preceq) dos conjuntos parcialmente ordenados. Una aplicación

f:A \rightarrow B

se dice que es monótona creciente si para cualesquiera a,a' de A, a \leq a' implica f(a) \preceq f(a'). En el caso de que a \leq a' implique f(a') \preceq f(a) se dirá que f es monótona decreciente. Obsérvese que esta definición no es más que la idea de la “conservación” del orden a través de la aplicación.
Veamos dos conjuntos A=\{a_1,a_2,a_3\} y B=\{b_1, b_2, b_3, b_4 \} cuyos órdenes parciales están descritos mediante diagramas de Hasse
AyB
La aplicación f:A \rightarrow B dada por
f(a_1) =b_1, f(a_2)=b_2, f(a_3)=b_3
AyB-1

no es monótona pues a_1 \leq a_3 pero f(a_1) = b_1 no es comparable con f(a_3)= b_3.

En general, vamos a aplicar estos conceptos a la recta real y subconjuntos de ésta, considerando el orden usual. Así, si A es un subconjunto no vacío de \mathbb{R} y
f:A \rightarrow \mathbb{R}
es una función, entonces f es monótona creciente si y sólo si para cada par x_1,x_2 de elementos de A tales que x_1 \leq x_2 es f(x_1) \leq f(x_2). En el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) \leq f(x_2) diremos que es monótona no decreciente y en el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) < f(x_2) diremos que es estrictamente creciente. De forma análoga podemos definir las funciones decrecientes, monótonas no crecientes y estrictamente decrecientes.

Un primer resultado relaciona las funciones estrictamente monótonas y las inyectivas.

Teorema: Toda función real de variable real estrictamente monótona es inyectiva. Por tanto, tiene una inversa que también es estrictamente monótona en el mismo sentido que la original.
Prueba: Sea A un subconjunto no vacío de la recta real y sea f una función real definida en A y estrictamente creciente en dicho conjunto. Entonces dados x_1, x_2 \in A con x_1 \neq x_2, tenemos que x_1 < x_2 o bien x_2 <x_1 (en virtud del orden total de \mathbb{R}). Por tanto, f(x_1) < f(x_2) o bien f(x_2) < f(x_1) lo que nos dice que la función es inyectiva. Sea g:B \rightarrow A la inversa de f. Consideremos y_1 <y_2, elementos de B y sean x_1=g(y_1) y x_2 = g(y_2). Si fuera g(y_1) \geq g(y_2), entonces x_1 \geq x_2 y por ello y_1 = f(x_1) \geq f(x_2)= y_2. Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que g(x_1) < g(x_2) y g también es estrictamente creciente. Similares argumentos podemos emplear para el caso de funciones estrictamente decrecientes.

Sin embargo, existen funciones que son inyectivas pero no estrictamente monótonas. Por ejemplo, la función real de variable real definida en (0,1) mediante
f(x) = x, si x es racional,
f(x) = 1-x, si x es irracional.
De hecho no existe ningún subintervalo de su dominio donde sea monótona.

Desigualdades simples con valor absoluto

Vamos a explicar cómo se resuelven inecuaciones del tipo

|f(x)| \leq (<) b,

|f(x)| \geq (>) b,

donde f(x) es un función polinómica con grado mayor o igual que uno y b es un número real positivo. Para ello vamos a usar la idea de “distancia” que pasamos a definir.

Una función d: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} es una métrica o distancia si verifica

a) d(x,y) \geq 0, para todos (x,y) \in \mathbb{R}^2.

b) d(x,y)=d(y,x), para todos x,y \in \mathbb{R}.

c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

d) d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z), para todos x,y,z \in \mathbb{R}.

Es fácil comprobar que la función

f(x,y) = |x-y| es una métrica. Gráficamente nos da la distancia geométrica entre los puntos x e y de la recta real y como

f(x,0)= |x-0| = |x|

vemos que el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al origen. Usando estas ideas vamos a desarrollar el método general para la resolución de inecuaciones sencillas con valores absolutos. Vamos a verlo con un ejemplo. Consideremos la inecuación

|x^2-3x+1| \geq 2.

La reescribimos como

|x^2-3x-(-1)| \geq 2

y recordando la definición de distancia, si hacemos y=x^2-3x, entonces equivale a

d(y,-1) \geq 2.

Por tanto, buscamos los y que sean mayores o iguales que -1+2=1 o bien menores o iguales  que -1-2=-3. En resumen, debemos resolver las inecuaciones

x^2-3x \leq -3,

x^2-3x \geq 1.
Estas inecuaciones son polinómicas y resultan sencillas de resolver. El primer paso es ponerlas en forma normal:

x^2-3x+3 \leq 0,
x^2-3x-1 \geq 0.

La primera no tiene solución (ver gráfica en rojo) y la segunda (en azul) tiene por solución el conjunto ]-\infty, \frac{3-\sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{3+\sqrt{13}}{2}, +\infty[. Esta es la solución buscada.

graficaconsultorio3

En general, si tenemos
|f(x)| \leq (<) b
lo interpretamos como la distancia entre f(x) y 0 y así la solución se halla a través de las inecuaciones
-b \leq (<) f(x) \leq (<) b

y si tenemos |f(x)| \geq (>) b entonces la solución se halla a través de las inecuaciones

f(x) \geq (>) b

f(x) \leq (<) b.

Podemos simplificar un poco el proceso mediante algunas simplificaciones como en el ejemplo pero todo dependerá de la dificultad del polinomio.

Respuestas consultorio 2 16-09-2015

Consulta: Hola. Me piden realizar el estudio completo y gráfico aproximado de la siguiente función: f(x)=x^3-6x^2-15x+40 Los pasos a seguir que nos dio el profesor fueron los siguientes:
1) Dominio e intersección con los ejes.
2)Paridad, simetría.
3) Continuidad y asíntotas.
4) Análisis de f´´(x) = crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo locales.
5) Análisis de f´´(x)= Concavidad, punto de inflexión.
6) Gráfico aproximado.
7) Imágen, máximo o mínimos absolutos.
Les pido por favor si pueden ayudarme con los primeros 4 pasos al menos, ya que he faltado a las últimas clases por falta de tiempo, por trabajo, he pedido los apuntes y he hecho algunos ejercicios, pero más sencillos, este no he podido resolverlo. Desde ya muchas gracias.

Vamos a proceder. En primer lugar, la función es polinómica por lo que es indefinidamente derivable con continuidad. Esto es muy importante pues garantiza la aplicación de la inmensa mayoría de los teoremas relativos a las cuestiones que planteas.

  1. Dominio: Es evidente que el dominio es toda la recta real. La intersección con el eje de ordenadas se obtiene haciendo x =0 y resulta el punto (0,40). La intersección con el eje de abscisas se obtiene haciendo y=0. Esto es, resolviendo la ecuación

x^3-6x^2-15x+40 =0.

Ahora bien esta es una ecuación de tercer grado y podemos resolverla aplicando directamente la fórmula de Cardano-Viéta o buscando raíces con el teorema del resto. Evidentemente nos interesan sólo las raíces reales. Si las raíces fueran divisores del término independiente, esto es, divisores de 40 tendríamos suerte. Lamentablemente no es así como puedes comprobar con facilidad pues los divisores son

\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 20, \pm 40 \}

y ninguno de ellos es raíz de la ecuación. Por tanto, deberíamos utilizar las fórmulas de Cardano-Vieta pero no lo voy a hacer aquí (aunque lo explicaré en otra entrada).

2. No tiene simetrías respecto a los ejes ni al origen. Puesto que f(x) \neq f(-x) no es par y como f(-x) \neq -f(x) tampoco es impar. Cualquier otra simetría no es apreciable de forma directa.

3. Es una función polinómica por lo que es continua y no tiene asíntotas ni horizontales ni verticales ni oblicuas.

4. Llegamos al punto interesante. Vamos a derivar y obtenemos otra función polinómica de grado menor (más manejable como verás)

f'(x) = 3x^2-12x-15.

Buscamos los ceros de esta función

3x^2-12x-15=0,

dividimos por 3 ambos miembros de la igualdad quedando

x^2-4x-5 = 0.

Las soluciones de esta ecuación son -1 y 5 como puedes comprobar sin más que utilizar la fórmula para la ecuación de segundo grado. Estas soluciones permiten un estudio completo del crecimiento y los extremos de esta función. Dividimos la recta real en tres intervalos utilizando los puntos dados:

(-\infty, -1), (-1,5),(5, +\infty).

Estudiamos el signo de la derivada en dichos intervalos.  Esto es fácil pues basta mirar la gráfica de la derivada o bien sustituir el valor de un punto de cada intervalo en la fórmula de la derivada y calcular para obtener el signo.

graficaconsultorio2

Como podemos ver, la derivada es positiva en (-\infty, -1) y (5,+\infty) y negativa en (-1,5). Al ser dicha derivada una función continua y existir en todo dominio de f podemos afirmar que f es creciente en (-\infty, -1) y decreciente en (-1,5) luego -1 es un máximo local. Del mismo modo al ser de nuevo creciente en (5, +\infty), vemos que 5 es un mínimo local. No existen máximos y mínimos globales pues la función es tan pequeña como se quiera pues

\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = - \infty,

y tan grande como se quiera pues

\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty.

5. La concavidad y convexidad se pueden estudiar fácilmente en este caso. Bastará obtener la segunda derivada

f''(x) = 6x-12.

Planteamos la ecuación

6x-12 = 0

y obtenemos una única solución x =2. Así dividimos la recta real de nuevo en dos intervalos

(-\infty, 2), (2, \infty).

La continuidad de la segunda derivada nos permite mediante el estudio del signo en estos intervalos obtener los puntos de inflexión. Así pues, es negativa en (-\infty, 2) y esto significa que f es cóncava en ese intervalo y es positiva en (2, \infty) por lo que será convexa en el otro intervalo. En definitiva, 2 es punto de inflexión.

6. Con lo visto ya puedes hacerte un gráfico aproximado. Para ello debes obtener las imágenes de los puntos notables que son -1,2 y 5. Es decir,

f(-1) = 48, f(2) =-6, f(5)=-60

graficaconsultorio3

Por cierto, así puedes apreciar que va a tener tres raíces reales.

Dominios de funciones reales de variable real

Recordemos que una función real de variable real es aquella que a cada elemento de un determinado subconjunto no vacío de los reales le hace corresponder un único número real a través de una regla precisa. En general, las reglas se obtienen mediante operaciones y si no tenemos una indicación previa, consideramos como dominio o conjunto de partida al mayor subconjunto para el que tales operaciones con sus elementos dan lugar a números reales. Esto se conoce como la regla del máximo dominio.  A continuación vamos a dar algunos ejemplos de cómo emplear esta regla.

Sea la función f(x) = x si x es racional y f(x) = \frac{1}{x} si x es irracional. Observamos que está bien definida pues todo número real es o bien racional o bien irracional. Así, por ejemplo, f(0)= 0 pues 0 es racional, mientras que f(\sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} pues \sqrt{3} es irracional. El único problema que se nos puede presentar es la división por cero pero esto no va a tener lugar pues al ser 0 racional, la regla que le aplicamos es la identidad y, en consecuencia, el dominio de f es toda la recta real.

Sea ahora la función g(x) =x si x es irracional y g(x) = \frac{1}{x} si x es racional. En este caso, aplicando el mismo razonamiento que para f vemos con facilidad que el máximo dominio es el conjunto (-\infty, 0) \cup (0, \infty), pues debemos evitar la división por cero.

Consideremos h(x) = \sqrt[4]{x-x^3} si x un racional del intervalo (0,1) y h(x) = 0 si x no pertenece al intervalo (0,1). Este caso precisa de un análisis más detallado. En primer lugar, buscaremos la solución de la inecuación

x-x^3 \geq 0,

pues al utilizar una raíz de índice par debemos exigir que el radicando sea positivo o nulo para obtener números reales.  Descomponemos en factores

x(1-x^2) \geq 0

x(1-x)(1+x) \geq 0.

Por tanto, tenemos que ver el signo del producto de factores en los intervalos (-\infty,-1), (-1,0), (0,1), (1, \infty). La siguiente tabla nos aclara el proceso

tabla1

Así pues, tenemos como solución de la inecuación

(-\infty,-1] \cup [0,1].

Ahora bien, la regla que define h en este caso nos exige que sólo consideremos los racionales del intervalo (0,1).  Por tanto, el dominio de h es

(-\infty,0] \cup [1, \infty) \cup (\mathbb{Q} \cap (0,1)).

Lo que viene a ser el conjunto de todos los número reales que están fuera del intervalo (0,1) junto con los racionales que estén dentro de dicho intervalo.

Resolución de inecuaciones racionales en una incógnita

Una expresión racional tiene la forma

\frac{P(x)}{Q(x)},

donde P(x) y Q(x) son polinomios en una indeterminada con Q(x) no idénticamente nulo (o sea que hay al menos un valor de x para el que no se anula). Una inecuación de alguna de las formas

\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0, \frac{P(x)}{Q(x)} <0

es una inecuación racional en una incógnita y en forma normal. Su resolución se basa en las propiedades del conjunto de los números reales como cuerpo ordenado. De esta manera, si queremos resolver \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, debemos resolver los sistemas

P(x) \leq 0, Q(x) >0, (I)

P(x) \geq 0, Q(x) <0, (II)

pues el cociente será negativo o nulo si el numerador y el denominador tienen diferentes signos, teniendo en cuenta además que el denominador no puede ser nulo. Evidentemente estos sistemas pueden ser difíciles de resolver pues todo depende de la complejidad de los polinomios considerados. Veamos un ejemplo. Sea la inecuación

\frac{x^3-1}{2x-2} \leq 1.

Nuestro primer paso es ponerla en forma normal. Para ello restamos 1 a ambos miembros lo que no altera el sentido de la desigualdad (recordemos que sumar o restar a ambos miembros de una inecuación la misma cantidad no altera el sentido de la desigualdad y nos permite obtener una inecuación equivalente)

\frac{x^3-1}{2x-2}- 1 \leq 0,

\frac{x^3-1-(2x-2)}{2x-2} \leq 0,

\frac{x^3-2x+1}{2x-2} \leq 0.

Por tanto, tenemos que resolver los sistemas

x^3-2x+1 \geq 0, 2x-2 <0, (I)

x^3-2x+1 \leq 0, 2x-2 >0. (II)

Veamos el primero de ellos. La inecuación x^3-2x+1 \geq 0 se resuelve mediante la obtención de las raíces reales de la ecuación

x^3-2x+1 = 0.

Una aproximación mediante el teorema del resto nos muestra que una las soluciones de esta ecuación es x_1=1, por tanto podemos escribir

x^3-2x+1 = (x-1)(x^2+x-1).

Nos falta encontrar las raíces reales de x^2+x-1=0. Tenemos que su discriminante es

\Delta = 1^2-4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5,

luego las raíces son

x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2},

x_3 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}.

Procedemos a ordenarlas de menor a mayor y permiten definir cuatro intervalos

(-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}),

(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1),

(1, \infty).

Buscamos valores en el interior de dichos intervalos para sustituirlos en la expresión y=x^3-2x+1 y obtenemos que el signo de los resultados es positivo o nulo en

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}],

[1, \infty),

como podemos ver en la gráfica:

solinecua

Por tanto, la solución de esta inecuación es

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] \cup [1, \infty).

Tenemos ahora que resolver también 2x-2 <0, que resulta en

x < 1,

es decir, el intervalo (-\infty, 1). La solución de (I) es la intersección de este intervalo con la unión de los intervalos anteriores. Es decir,

[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}] .

Dejamos al lector la solución del otro sistema (II), recordándole que puede utilizar como base los intervalos que ya hemos obtenido.

Ecuaciones cúbicas (2)

Consideremos una ecuación cúbica reducida

x^3+px+q = 0,

donde p y q son diferentes de cero. En la entrada anterior hemos visto cómo podemos resolverla mediante una serie de cambios de variable y usando números complejos. Vamos a resumir todo ese trabajo en una expresión manejable. Consideramos los valores complejos

\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},

\beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}

Las soluciones se obtienen entonces mediante x = \alpha+\beta. Veamos una aplicación con el ejemplo de la entrada anterior (donde hemos cambiado la variable y por x para ajustarnos a la terminología empleada ahora):

x^3- \frac{1}{3}x -\frac{25}{27} =0.

Entonces p= -1/3 y q = -25/27, quedando

\alpha = \sqrt[3]{-\frac{-25/27}{2}+\sqrt{\frac{(-25/27)^2}{4}+\frac{(-1/3)^3}{27}}} = \sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}},

\beta = \sqrt[3]{-\frac{-25/27}{2}-\sqrt{\frac{(-25/27)^2}{4}+\frac{(-1/3)^3}{27}}} =\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}.

Añadiendo las raíces cúbicas de la unidad obtenemos los resultados buscados

x_1 = \sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}},

x_2 =(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}) [\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}]+(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2})[\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}],

x_2 =(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}) [\sqrt[3]{\frac{25}{54}+\frac{\sqrt{621}}{54}}]+(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2})[\sqrt[3]{\frac{25}{54}-\frac{\sqrt{621}}{54}}],

Estos son los valores exactos pero podemos dar valores aproximados sin más que operar y redondear.