Sobre las ecuaciones de la recta en el plano

captura2

 

Podéis encontrar un video explicativo sobre este tema en mi canal de youtube. Concretamente aquí. Continuaré este tema con algunos ejercicios resueltos.

Anuncios

Una ecuación trigonométrica

Del texto de problemas “Ejercicios de Análisis”, del doctor en Ciencias J. Rivaud extraigo la siguiente ecuación trigonométrica:

\cos x - \cos (2x) = \sin (3x).

Me ha parecido adecuado resolverla porque en ella aparecen muchas cuestiones que es necesario tener en cuenta en este tipo de ecuaciones. Así puede resultar un ejercicio de gran interés. En primer lugar, se nos puede ocurrir desarrollar los valores de \cos (2x) y \sin (3x) utilizando las igualdades conocidas:

\cos(2x) = \cos^2(x)- \sin^2(x),

\sin(3x) = 3 \sin (x) \cos^2 (x) - \sin^{3} x.

Pero esto es una muy mala idea. Este desarrollo se hace largo y no se consigue nada. Primero vamos a escribir

\cos x - \cos (2x) - \sin (3x) =0, (1)

y luego debemos recordar que

\cos (A)- \cos (B) = -2 \sin (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Por tanto, la ecuación (1) queda como

-2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{-x}{2})- \sin (3x) = 0,

que simplificada (recordemos que \sin (-a) = -\sin a ) queda

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2})- \sin (3x)=0. (2)

En este punto parece que no hemos llegado a ninguna parte. Pero basta utilizar la igualdad

\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}

para tener

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{3x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) =0.

Esta expresión se puede factorizar y esto es muy interesante. Así tenemos

2 \sin (\frac{3x}{2}) (\sin(\frac{x}{2}) -\cos (\frac{3x}{2})) =0.

Esto nos lleva a dos ecuaciones

2 \sin (\frac{3x}{2})=0, (2)

\sin(\frac{x}{2})- \cos(\frac{3x}{2}) =0. (3)

Pasamos a resolver (2). En la forma dada es inmediato que

\frac{3x}{2} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

luego

x = \frac{2k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}.

Veamos ahora (3). Para simplificar utilizamos

\cos a = \sin (\frac{\pi}{2} -a).

Por tanto, quedará

\sin(\frac{x}{2} )- \sin(\frac{\pi}{2} -\frac{3x}{2}) =0. (4)

Para factorizar de nuevo usamos

\sin A - \sin B = 2 \cos (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Así pues, tenemos que (4) se expresa como

2 \cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}) \sin(x-\frac{\pi}{4}) =0.

Es decir,

\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})  =0, (5)

\sin(x-\frac{\pi}{4}) =0. (6)

Por tanto, para (5) es

 \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2} = (2k+1) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z},

x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}

y para (6) es

x- \frac{\pi}{4} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

x =\frac{\pi}{4} + k \pi, k \in \mathbb{Z}.

Estas son todas la soluciones posibles.

 

Un ejercicio de inducción

Probar por inducción que n(n+1)(n+2)(n+3) es divisible por 24 (o equivalentemente que n(n+1)(n+2)(n+3) es múltiplo de 24).

Solución: Este problema no se resuelve aplicando directamente la inducción. Hay que dar un pequeño “rodeo”. Lo esencial es advertir que

24 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.

Si tenemos eso en mente veremos que basta probar que n(n+1) es múltiplo de 2! =2, n(n+1)(n+2) es múltiplo de 3! = 6 y n(n+1)(n+2)(n+2) es múltiplo de de 24.

Para n=1 tenemos

1 \cdot 2 =2 es múltiplo de 2.

1 \cdot 2 \cdot 3=6 es múltiplo de 6.

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot =24 es múltiplo de 24.

La hipótesis de inducción para k es que k(k+1) es múltiplo de 2, k(k+1)(k+2) lo es de 6 y k(k+1)(k+2)(k+3) lo es de 24. Vemos que ocurre para k+1.

(k+1)(k+2) = (k+2)(k+1)=k(k+1)+ 2(k+1). Como hemos asumido que k(k+1) es múltiplo de 2, es obvio que k(k+1)+2(k+1) es un múltiplo de 2 al ser suma de múltiplos de 2.

(k+1)(k+2)(k+3) = (k+3) (k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2). Como hemos supuesto que (k+1)(k+2) es múltiplo de 2 es obvio que 3(k+1)(k+2) es múltiplo de 6 y como k(k+1)(k+2) es múltiplo de 6, concluimos que la suma es múltiplo de seis al ser suma de dos múltiplos de este número.

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+4)(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3).

De nuevo aplicando la hipótesis de inducción vemos que k(k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 24. Ahora bien, como (k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 6, concluimos que 4(k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 24 y la suma ha de ser múltiplo de 24. Esto termina la demostración.

Sobre fracciones

Una de las últimas preguntas que me han hecho versaba sobre fracciones. En concreto, se trataba de averiguar, sin efectuar la división, si una fracción dada tenía una expresión decimal periódica o exacta. Esto me ha recordado un problema de Apostol (“Análisis Matemático, 2ª Edición, página 36, problema 1.8”) que dice así:

Demostrar que la expresión decimal de x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2^{n} 5^{m}, donde m,n son enteros no negativos.

En resumen, la respuesta a la pregunta que me hacen es que si una vez expresada la fracción en su forma irreducible, el denominador sólo tiene como factores potencias de dos o de cinco o de ambos, entonces la fracción da lugar a un decimal exacto. Por ejemplo, la fracción

\frac{114}{40}

se expresa como decimal exacto pues en su forma irreducible es

\frac{57}{20},

con denominador

20 = 2^2 \cdot 5.

Pero la fracción \frac{58}{36} se expresa en forma irreducible como

\frac{29}{18},

siendo el denominador 18 = 3^2 \cdot 2, por lo que su expresión decimal es periódica. En los siguientes párrafos voy a pergeñar una demostración de por qué esto es así.
Partimos de la hipótesis de que
x = \frac{k}{2^{n} 5^{m}}
donde k,n y m son enteros y m,n son positivos. En virtud del orden total presente en \mathbb{Z} será n \geq m o bien n \leq m. Para el primer caso (n \geq m) escribimos
x = \frac{k 5^{n-m}}{2^{n} 5^{m} 5^{n-m}} = \frac{k 5^{n-m}}{2^{n} 5^{n}} = \frac{k 5^{n-m}}{10^{n}}.
Esta fracción resultante termina en ceros (lo que equivale a terminar en infinitos nueves). Para el segundo caso (n \leq m), escribimos
x = \frac{k 2^{m-n}}{2^{n} 5^{m} 2^{m-n}} = \frac{k 2^{m-n}}{2^{m} 5^{m}} = \frac{k 2^{m-n}}{10^{m}} .
De nuevo esto significa que x termina en ceros o en infinitos nueves.

Recíprocamente, si x tiene un desarrollo decimal que acaba en ceros, entonces puede ponerse en forma finita:
x = a_{0}, a_{1}a_{2} \ldots a_{n},
donde a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9 \}. Esto significa que
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i}.
Simplificando y agrupando obtenemos
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i} = \frac{1}{10^{n}} \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i} .
El lector puede observar que en la expresión anterior el sumatorio es un número entero. En consecuencia
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}}
y se cumple la condición buscada. Veamos ahora el caso en el que x acaba en infinitos nueves:
x = a_{0}, a_{1}a_{2} \ldots a_{n} 9 9 9 9 9 9 \ldots,
donde a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9 \}. Agrupamos esta expresión en la forma
x = \sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{-i} +9 \sum_{i=n+1}^{\infty} 10^{-i}.
El lector observa fácilmente que el primer sumando finito es equivalente al obtenido para el caso anterior. Así pues, aplicando lo ya visto y operando un poco tenemos
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{9}{10^{n+1}}\sum_{i=0}^{\infty} 10^{-i} .
La suma infinita es la suma de todos los valores de una progresión geométrica de primer término 1 y razón 10^{-1}, luego resulta
\sum_{i=0}^{\infty} 10^{-i} = \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{10}{9} ,
que sustituyendo en la expresión anterior y simplificando da lugar a
x = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{9}{10^{n+1}} \frac{10}{9} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i}}{2^{n} 5^{n}} + \frac{1}{10^{n}} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_{i} 10^{n-i} +1}{2^{n} 5^{n}}.
Esto prueba que la fracción correspondiente tiene el denominador en la forma buscada.

Demostrando desigualdades con geometría simple

Captura1

La anterior figura se ha tomado del texto “When Less is More. Visualizing Basic Inequalities” de Claudi Alsina y Roger B. Nelsen y ejemplifica de manera extraordinaria cómo se relacionan la geometría y el cálculo. Justamente dicho texto nos da algunas interesantes demostraciones de desigualdades clásicas utilizando la representación de números reales mediante segmentos de una línea y los siguientes principios:

  1. El principio de inclusión. Cuando un segmento es subconjunto de otro entonces éste es mayor.
  2. El principio geodésico. En el plano euclídeo el camino de menor longitud que une dos puntos es el segmento de recta que tiene a uno como principio y al otro como extremo.
  3. La comparación Pitagórica. En cualquier triángulo el lado opuesto al mayor ángulo es el mayor lado.
  4. La desigualdad del triángulo. En cualquier triángulo la suma de dos de sus lados es mayor que el lado restante.
  5. Comparación de gráficos de funciones. Si el gráfico de y=f(x) yace por encima del gráfico de y=g(x) en un intervalo I, entonces para cada x de dicho intervalo, el segmento que uno (x,f(x)) y (x,g(x)) es positivo, lo que establece que f(x) \geq g(x).

Vamos a utilizar estos principios para demostrar una curiosa desigualdad (el lector interesado puede encontrar el desarrollo más conciso en el texto mencionado). Probaremos que si a,b son números positivos, entonces
\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Vamos a usar la siguiente figura:

grafico1

La longitud del segmento AB es \sqrt{a^2+b^2}, la longitud del segmento BC es también \sqrt{a^2+b^2} mientras que la longitud del segmento AC es \sqrt{ (a+b)^2 + (a+b)^2}. Como vemos en la figura, la longitud del segmento AC es menor que la de la suma de los segmentos AB y BC (principio geodésico), luego

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2+b^2}.

Por otro lado, usando el principio 4 (desigualdad del triángulo), es (a+b)+(a+b) \geq 2 \sqrt{a^2+b^2}, quedando

\sqrt{2} (a+b) \leq 2 \sqrt{a^2 + b^2} \leq 2(a+b).

Si multiplicamos todos los miembros de la desigualdad por \frac{1}{2 \sqrt{2}}, obtenemos

\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \frac{a+b}{\sqrt{2}}.