Álgebra

Formas cuadráticas (3)

Seguimos con algunos resultados más.

Teorema 1. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita, n, sobre un cuerpo K y sea B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}) una base de E. Toda forma bilineal f: E \times E \rightarrow K es simétrica si y sólo si, su matriz A respecto a la base B es simétrica.

Demostración. Supongamos que f: E \times E \rightarrow K es simétrica. En tal caso la matriz A= (f(u_{j}, u_{i})) verifica A^{T} = (f(u_{j}, u_{i}))^{T} = (f(u_{i}, u_{j}) )= (f(u_{j},u_{i}))= A y resulta una matriz simétrica. Análogamente, si la matriz A= (f(u_{j}, u_{i})) es simétrica, entonces

f(u,v) = u_{B} A (v_{B})^{T} = (u_{B} A (v_{B})^{T})^{T} = v_{B} A^{T} (u_{B})^{T} = v_{B} A (u_{B})^{T} = f(v,u)

lo que prueba que la forma bilineal es simétrica. Aquí termina nuestra demostración.

A continuación vamos a determinar cómo afecta el cambio de base a la expresión matricial de una forma bilineal.

Teorema 2. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita, n, sobre un cuerpo K y sean B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}) y B'=(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}) bases de E. Sea también una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K con matriz A respecto a la base B. Si P es la matriz de paso de B a B', entonces la matriz de f respecto a la base B' es P A P^{T}

Demostración. Como P es la matriz de paso de latex $B$ a B' tenemos que u_{B'}P = u_{B}, para todo u \in E, por lo que podemos escribir

f(u,v)=  u_{B} A (v_{B})^{T} =  u_{B'} P  A (v_{B'}P )^{T} = u_{B'} P  A  P^{T} (v_{B'} )^{T}

Esto significa que la matriz P  A  P^{T} es la correspondiente a la forma bilineal en la base B'. Esto termina nuestra demostración.

Recordemos que dos matrices cuadradas de la misma dimensión A y B se dicen congruentes si existe una matriz P, tal que B = P A P^{T}. Así pues, todas las matrices correspondientes a una misma forma bilineal en distintas bases son congruentes entre sí.

Vamos a definir ya lo que entendemos por forma cuadrática.

Definición 1. Sea f: E \times E \rightarrow K una forma bilineal simétrica. La aplicación q: E \rightarrow K, dada por q(u)=f(u,u) se denomina forma cuadrática asociada a f.

En el caso de trabajar en espacios vectoriales de dimensión finita, resulta sencillo obtener la expresión matricial de una forma cuadrática a partir de la expresión matricial de la forma bilineal a la que está asociada. Así si f(u,v) = u_{B} A (v_{B})^{T}, tenemos que q(u) = u_{B} A (u_{B})^{T}, siendo A una matriz simétrica.

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Formas cuadráticas (2)

Vamos a ver ahora la expresión de una forma bilineal definida sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas.

Teorema 1. Sean E y F dos K-espacios vectoriales de dimensiones m y n, respectivamente, y sean B=(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{m}) una base de E y B'= (v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}) una base de F. Entonces, dada una forma bilineal f: E \times F \rightarrow K existe una y sólo una matriz A=(a_{ji}) de dimensiones mn tal que
matriz1

Demostración. Expresando los vectores x \in E e y \in F mediante las bases respectivas B y B' y aplicando la condición de bilinealidad, tenemos

matriz2

Llamando f(u_{j}, v_{i} ) = a_{ji}, para (j,i) \in \{1, 2, \cdots, m \} \times \{1,2, \cdots, n \} tenemos

matriz3

Si A=(a_{ji}) es la matriz mn formada por los valores a_{ji} =f(u_{j},v_{i}), se tiene que por construcción es única y cumple las condiciones del teorema. Esto termina nuestra demostración.

Utilizando los resultados del teorema anterior, podemos expresar matricialmente las formas bilineales sobre espacios vectoriales de dimensiones finitas. En efecto, si E y F son espacios vectoriales de dimensiones m y n, respectivamente, sobre un mismo cuerpo K y B=(u_{1}, \cdots u_{m}) es una base de E y B'=(v_{1}, \cdots, v_{n}) una base de F, toda forma bilineal f: E \times F \rightarrow K se puede expresar mediante

f(u,v) = u_{B} A (v_{B'})^{T}.

donde u_{B} es el vector fila formado por las coordenadas de u en la base B, v_{B'}, el vector fila formado por las coordenadas de v en la base B' y A es la matriz de f en las bases B y B', de dimensiones mn y componentes f(u_{j},v_{i}). En el caso de que E=F y \dim(E)=n, es usual escoger una misma base B y, entonces la matriz A = (f(u_{j},u_{i})) es cuadrada de orden n.

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Formas cuadráticas (1)

Consideremos tres espacios vectoriales E, F y G, todos sobre el mismo cuerpo conmutativo K. Una aplicación

f: E \times F \rightarrow G

se dice que es bilineal si para cada x \in E y cada y \in F, las restricciones

f_{x} : F \rightarrow G ,\quad f_{x}(y) =f(x,y),

f_{y} : E \rightarrow G,\quad f_{y}(x) =f(x,y),

son aplicaciones lineales. Esto es equivalente a afirmar que para cada \alpha, \beta pertenecientes al cuerpo K y para cada x, x' \in E y cada y, y' \in F, se tiene que

f(\alpha x + \beta x', y ) = \alpha f(x,y)+ \beta f(x',y),

f(x,\alpha y+ \beta y') = \alpha f(x,y)+ \beta f(x,y').

Consideremos los espacios vectoriales E=F=\mathbb{R}^{2} y G=\mathbb{R}^{3}, todos sobre el cuerpo de los números reales. La aplicación f:\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por

f((x,y), (u,v)) = (0, 0, 0)

es bilineal. En efecto, si restringimos f a un valor (x_{0},y_{0}) fijo, la aplicación resultante f(u,v) = (0, 0, 0) es lineal y lo mismo ocurre si restringimos f a un valor (u_{0}, v_{0}) fijo. Esta aplicación bilineal se llamará degenerada o trivial.

Definición 1. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y consideremos el espacio vectorial usual formado por el cuerpo K sobre sí mismo. Toda aplicación bilineal f: E \times F \rightarrow K se llamará forma bilineal.

Observemos que en las formas bilineales las imágenes son siempre valores del cuerpo K.
La aplicación

f:\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}

dada por

f((x,y),(u,v)) = xu+yv

es una forma bilineal. En efecto, sea (x_{0}, y_{0}) fijo, la restricción a dicho valor resulta la aplicación

f_{(x_{0},y_{0})}(u,v) = x_{0}u+y_{0}v

la cual es lineal y el lector puede comprobar que también lo es la restricción a cualquier (u_{0}, v_{0}). Obsérvese que esta forma bilineal no es más que el producto escalar.

Definición 2. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K se dice simétrica si f(x,y)=f(y,x) para todos (x,y) \in E \times E.
Definición 3. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K se dice antisimétrica o alternada si f(x,x)=0 para todos x \in E.

Obsérvese que en la definición de formas simétricas y antisimétricas hemos considerado sólo formas bilineales donde los espacios vectoriales que forman el dominio son el mismo. El siguiente resultado nos proporciona una condición equivalente para el carácter alterno de una forma bilineal.

Teorema 1. Una forma bilineal f: E \times E \rightarrow K es alternada si y sólo si f(x,y) = -f(y,x)

Demostración. Supongamos que f es alternada, entonces tomando x,y \in E, tenemos que f(x+y, x+y) = 0, de donde

0=f(x+y,x+y) = f(x,x+y)+f(y,x+y) =

f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y) =

0+f(x,y)+f(y,x)+0 = f(x,y)+f(y,x).

Lo que nos lleva a concluir que f(x,y) = -f(y,x). Recíprocamente, si f(x,y) = -f(y,x) para todo x,y \in E, entonces haciendo x=y, sería f(x,x) = -f(x,x), de donde f(x,x)=0. Esto termina nuestra demostración.

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Curso EVT. Lectura 28. Topología (3)

Consideremos dos espacios topológicos (E,T) y (F,S). Vamos a definir una topología sobre el conjunto producto E \times F utilizando como base la colección \mathcal{G} de los conjuntos U \times V, donde U es un abierto de E y V es un abierto de F. En efecto, recordemos que las condiciones para que una colección de subconjuntos de un conjunto dado sea una base de una topología son: (1) Para cada elemento del conjunto existe un elemento de la base que lo contiene. (2) Para cada elemento de la intersección de dos conjuntos de la colección existe un tercer elemento de la misma colección que lo contiene y está contenido en dicha intersección. La primera condición es inmediata pues el conjunto E \times F es un elemento de \mathcal{G} y (x,y) \in E \times F. Para la condición (2) recordamos que

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \times C) \cap (B \times D).

De esta manera, si U_1 \times V_1 y U_2 \times V_2 son elementos de \mathcal{G}, entonces (U_1 \times V_1) \times (U_2 \times V_2) = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2) es también un elemento de \mathcal{G} pues la intersección finita de abiertos es un abierto.

Podemos aprovechar las bases existentes de una topología en cada conjunto para definir de una manera equivalente la topología producto. De esta manera, si \mathcal{B} es una base de la topología de E y \mathcal{B}' es una base de la topología de F, la clase \mathcal{B} \times \mathcal{B}' es una base para la topología producto. La demostración es sencilla pues si (x,y) es un elemento de un abierto A de la topología producto, hallaremos U, abierto de E y V, abierto de F, tales que (x,y) \in U \times V \subset A y para dichos U,V existen B \in \mathcal{B} y B' \in \mathcal{B}', de forma que (x,y) \in B \times B' \subset U \times V \subset A. Esto prueba que todo abierto de la topología producto es unión de conjuntos de la forma B \times B'.

Una definición importante es la de conjunto cerrado. Un subconjunto C de un espacio topológico (X, \mathcal{T}) es cerrado si su complementario X-C es un abierto de \mathcal{T}.

Utilizando las propiedades ya dadas para los conjuntos abiertos podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico y sea \mathcal{C} la colección de todos los cerrados definidos por la topología \mathcal{T}. Entonces, se tiene que
(a) El vacío y el propio X pertenecen a \mathcal{C}.
(b).La intersección arbitraria de elementos de \mathcal{C} pertenece a \mathcal{C}.
(c). Si C y C' son cerrados, entonces C \cup C' es cerrado.

Prueba. Como \emptyset es abierto, tenemos que X- \emptyset = X es cerrado. Análogamente, X es abierto, por lo que X-X = \emptyset es cerrado. Esto prueba (a). Sea (C_{i})_{i \in I} una familia arbitraria de cerrados. La familia (X-C_{i})_{i \in I} está formada por abiertos y, en consecuencia, de la igualdad

X -\cap_{i \in I} C_{i} = \cup_{i \in I} (X-C_{i})

se sigue que \cap_{i \in I} C_{i} es cerrado. Esto prueba (b). Finalmente, sean C y C' dos cerrados. Entonces X-C y X-C' son abiertos, por lo que (X-C) \cup (X-C') = X- (C \cap C') es un abierto. Esto significa que C \cap C' es cerrado.

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Curso EVT. Lectura 25. Cardinales (8)

No definiremos de manera precisa lo que entendemos por cardinal pues ello precisaría de la teoría de los ordinales. Consideraremos pues un cardinal como una “clase de equivalencia” formada por conjuntos equinumerosos. La definición de las operaciones entre cardinales las haremos utilizando representantes. De esta manera si \alpha es un cardinal, escribiremos |A| =  \alpha para indicar que A pertenece al cardinal \alpha. Tampoco daremos las demostraciones de todos los teoremas.

Definición 1. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos disjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define la suma \alpha + \beta como el cardinal del conjunto A \cup B

Esta definición es consistente pues se prueba con facilidad que es independiente de los representantes elegidos. Podemos extender esta definición para la suma de un número arbitrario de cardinales.

Definición 2. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I. Se define su suma \sum_{i} \alpha_{i} como el cardinal del conjunto \bigcup_{i \in I} (A_{i} \times \{ i \}).

De nuevo resulta una definición consistente pues no depende de los representantes que se elijan, además para cada i de I es cierta la igualdad |A_{i} \times \{ i \}| = |A_{i}|, siendo los conjuntos de la familia (A_{i} \times \{i \})_{i \in I} disjuntos dos a dos.

Teorema 1. Sean \alpha, \beta y \gamma tres cardinales cualesquiera. Se cumplen:
a) \alpha + \beta = \beta + \alpha.
b) Si | \emptyset | = 0, entonces \alpha+0 = 0 + \alpha = \alpha.
c) \alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta)+ \gamma.
Definición 3. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B conjuntos tales que |A|= \alpha y |B|= \beta. Se define el producto \alpha  \beta como el cardinal del conjunto A \times B.

Como vemos no se exige que los conjuntos sean disjuntos. Ahora bien, si uno de ellos es vacío, el producto cartesiano será vacío.

Definición4. Sea ( \alpha_{i})_{i \in I} una familia de cardinales y sea (A_{i})_{i \in I} una familia de conjuntos tales que |A_{i}| = \alpha_{i}. Se define el producto \prod_{i \in I} \alpha_{i} como el cardinal del producto cartesiano \prod_{i \in I} A_{i}.

Si ninguno de los cardinales es cero entonces ninguno de los conjuntos de la familia será vacío y el producto cartesiano no será vacío en virtud del axioma de elección.

Teorema 2. Sean \alpha, \beta y \gamma cardinales cualesquiera. Entonces
a) (\alpha  \beta) \gamma = \alpha  (\beta \gamma).
b) \alpha \beta = \beta \alpha.
c) \alpha 1 = \alpha, donde 1 es el cardinal del natural \{ 0 \}.
d) \alpha (\beta+ \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma.
e) \alpha 0 = 0.
f) \sum_{i \in I} \alpha = |I| \alpha.

Señalemos en especial la propiedad (f) pues la hemos usado en la demostración de la equicardinalidad de las bases de un mismo espacio vectorial.

Definición 5. Se dice que un cardinal \alpha es menor o igual que otro cardinal \beta si podemos hallar conjuntos A y B para los que |A|= \alpha, |B| = \beta y existe una función f:A \rightarrow B inyectiva. En tal caso, escribimos \alpha \leq \beta.
Teorema 3. Si (\alpha_{i})_{i \in I} es una familia de cardinales y (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos con |A_{i}| = \alpha_{i} para cada i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Teorema 4. Sean ( \alpha_{i})_{i \in I} y ( \beta_{i})_{i \in I} dos familias de números cardinales tales que \alpha_{i} \leq \beta_{i}, para todo i \in I, entonces:

a) \sum_{i \in I} \alpha_{i} \leq \sum_{i \in I} \beta_{i}.
b) \prod_{i \in I} \alpha_{i} \leq \prod_{i \in I} \beta_{i}.

Es importante señalar que estas propiedades no se cumplen siempre si la desigualdad entre los cardinales es estricta.

Teorema 5. Sea \alpha un cardinal infinito y sea \omega el cardinal de los naturales. Entonces si \beta es un cardinal que cumple \beta \leq \omega, concluimos que \alpha + \beta = \alpha.

Prueba. Consideremos A y B tales que A \cap B = \emptyset y |A| = \alpha y |B| = \beta. Sabemos que todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable. Por tanto, existe C \subset A tal que |C| = \omega. Escribimos C = \{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}, \ldots \} y definimos la función f: \mathbb{N} \cup A \rightarrow A, mediante

c_{2n} si x  \in \mathbb{N}.
c_{2n-1} si x \in C.
x si x \in A-C.

Esta función es biyectiva y esto prueba que |\mathbb{N} \cup A| = |A|. Es decir, \omega+ \alpha = \alpha. Aplicando (a) del teorema 4 concluimos de la desigualdad \beta \leq \omega que \alpha+\beta \leq \alpha+\omega = \alpha \leq \alpha + \beta y en virtud del teorema de Schröder-Bernstein es \alpha+\beta = \alpha.

Podemos obtener un conocido resultado a partir de esta demostración.

Corolario 1. Si \omega es el cardinal de los naturales, entonces \omega+ \omega = \omega.

Prueba. Bastará tomar \alpha = \omega y \beta = \omega en el teorema anterior.

Teorema 6. Si \alpha es un cardinal infinito, entonces \alpha+\alpha = \alpha y \alpha \alpha = \alpha.
Teorema 7. Si \alpha y \beta son cardinales mayores que cero y alguno de ellos es infinito, entonces \alpha+\beta =  \alpha \beta = \max \{\alpha, \beta \}.
Teorema 8. Si (A_{i})_{i \in I} es una familia de conjuntos y |A_{i}|= \alpha_{i} para i \in I, entonces |\bigcup_{i \in I} A_{i} | \leq  |I | \bigcup_{i \in I} | A_{i} | \leq |I | \sum_{i \in I} \alpha_{i}.
Definición 6. Sean \alpha y \beta dos cardinales y sean A y B dos conjuntos tales que |A| =  \alpha y |B| = \beta. Definimos \alpha^{\beta} como el cardinal del conjunto A^{B} formado por todas las aplicaciones f:B \rightarrow A.
Teorema 9. Para cualesquiera cardinales \alpha, \beta, \gamma, \delta, se cumplen:
a) Si \alpha >0 y \beta \leq \gamma, entonces \alpha^{\beta} \leq \alpha^{\gamma}.
b) Si \alpha \leq \gamma, entonces \alpha^{\delta} \leq \gamma^{\delta}.

Acabamos esta colección de resultados con un teorema.

Teorema 10. Si \alpha, \beta y $\gamma$ son cardinales, entonces
a) \alpha^{\beta+\gamma} = \alpha^{\beta} \alpha^{\gamma}.
b) \alpha^{\beta \gamma} = (\alpha^{\beta})^{\gamma}.
c) (\alpha \beta)^{\gamma} = \alpha^{\gamma} \beta^{\gamma}.
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Curso EVT. Lectura 24. Cardinales (7)

Vamos a ver otro interesante resultado que involucra a los números reales

Teorema 1. Se cumple que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| \leq |\mathbb{R}|

Prueba. Para llevar a cabo esta demostración vamos a utilizar el llamado conjunto de Cantor. Sea el intervalo cerrado unidad C_{1} =[0,1]. Dividimos este intervalo unidad en tres partes
\displaystyle  I_{1} =\bigg[0, \frac{1}{3}\bigg], I_{2} =\bigg]\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \bigg[, I_{3} =\bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg]
y tomamos las dos partes cerradas extremas para formar la unión:
\displaystyle C_{2} = \bigg[0, \frac{1}{3}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg].
Repetimos el proceso para cada una de estas nuevas partes:
\displaystyle \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg],\bigg]\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\bigg[,\bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg],
\displaystyle \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg],\bigg]\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\bigg[,\bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg].
Construimos entonces
\displaystyle C_{3} = \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg]

conjuntocantor

Este proceso sigue indefinidamente y se caracteriza por las propiedades siguientes
(i)Cada C_{m+1} está incluido en C_{m}
(ii) Cada C_{m} es la unión de 2^{m-1} intervalos cerrados disjuntos.
Al conjunto intersección C = \cap_{i=1}^{\infty} C_{i} le llamamos conjunto de Cantor. Construiremos una función inyectiva de \Delta en C. Para ello, recordemos que en la construcción del conjunto de Cantor cada uno de los 2^{m-1} intervalos [a,b] de C_{m} se reemplaza por 2 intervalos
\displaystyle L[a,b] =\bigg[a, a+\frac{1}{3}(b-a) \bigg], R[a,b] = \bigg[ a+\frac{2}{3}(b-a),b \bigg].
Esto nos va a servir para asociar a cada sucesión infinita de \Delta uno de estos dos intervalos. En efecto, sea \delta(n) una sucesión infinita de ceros y unos, definimos

\displaystyle F_{1}^{\delta}= C_{1},
\displaystyle F_{n+1}^{\delta} = LF_{n}^{\delta}, si \delta(n)=0,
\displaystyle F_{n+1}^{\delta}=RF_{n}^{\delta}, si \delta(n) = 1

Evidentemente, cada F_{n}^{\delta} es subconjunto de C_{n} por lo que F_{n+1}^{\delta} \subset F_{n}^{\delta} y obtenemos una sucesión decreciente de intervalos cerrados. La completitud de la recta implica entonces que su intersección es un único punto que llamaremos f(\delta). La función inyectiva que vamos a construir será pues aquella que a cada sucesión \delta le asocia el único punto f(\delta). En efecto, está bien definida y si suponemos que dos sucesiones \delta y \epsilon de \Delta son diferentes, entonces hallaremos un valor mínimo n \in \mathbb{N} tal que \delta(i) = \epsilon(i) para i \leq n y es \delta(n) = 0 pero \epsilon(n) =1 (o al contrario sin pérdida de generalidad). Entonces f(\delta) \in F_{n+1}^{\delta}=LF_{n}^{\delta} y también f(\epsilon) \in F_{n+1}^{\epsilon}=RF_{n}^{\delta}. Los intervalos LF_{n}^{\delta} y RF_{n}^{\delta} son disjuntos por lo que las imágenes f(\delta) y f(\epsilon) son diferentes. Esto prueba que la aplicación es inyectiva. Evidentemente, la aplicación f también es inyectiva de \Delta en \mathbb{R} y esto prueba que |\Delta| \leq |\mathbb{R}|. Como sabemos que |\Delta|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})| se sigue el enunciado del teorema y esto termina nuestra demostración.

Vamos a probar ahora la relación contraria.

Teorema 2. Se cumple que |\mathbb{R}| \leq |\mathcal{P}(\mathbb{N})| .

Prueba. Sea I=]0,1[ el intervalo abierto unidad. Consideremos cada número de dicho intervalo en base dos. Esto es, para cada x de I escribimos
\displaystyle x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{ 2^{n}},
donde a_{i} es 0 o 1. La aplicación f que a cada x le hace corresponder la sucesión (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots) es inyectiva ya que si dos sucesiones de ceros y unos son iguales entonces han de representar al mismo número real x. Por tanto, |]0,1[| \leq | \Delta |. Ahora bien, sabemos que el intervalo abierto unidad es equipotente a la recta real y de aquí que |\mathbb{R}| \leq | \Delta |= |\mathcal{P}(\mathbb{N})|

Los teoremas 1 y 2 nos muestran dos desigualdades entre cardinales de la forma a \leq b y b \leq a. Podemos preguntarnos si, como en el orden usual, estas dos desigualdades implican que a=b. La respuesta es afirmativa y viene dada por el teorema llamado de Cantor-Schröder-Bernstein. Para demostrarlo utilizaremos un lema auxiliar

Lema 1.Sean A_{1}, B y A conjuntos tales que A_{1} \subset B \subset A. Si |A_{1}| = |A|, entonces |A| = |B|

Prueba. Como A y A_{1} son equipotentes existe una biyección entre ellos f:A \rightarrow A_{1}. Construimos a partir de esta biyección un par de sucesiones de conjuntos mediante

\displaystyle A_{n} =A, si n=0,
\displaystyle A_{n} = f^{n}(A) , si n \geq 1.
\displaystyle  B_{n} = B, si n =0.
\displaystyle  B_{n} = f^{n}(B), si n \geq 1.

Obsérvese que de la inclusión A_{1} \subset B=B_{0} \subset A_{0} = A se sigue fácilmente por inducción que f^{n}(A_{1}) \subset f^{n} (B_{0}) \subset f^{n} (A_{0}). Esto es, A_{n+1} \subset B_{n} \subset A_{n} para todo n. Definimos C_{n} = A_{n}- B_{n} para cada n. Como f es inyectiva tenemos que f(C_{n}) = f(A_{n})- f(B_{n}) = A_{n+1} -B_{n+1} = C_{n+1}. Sea entonces
\displaystyle C = \bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n},
\displaystyle D = A-C.
Esto significa que
\displaystyle f(C) = f(\cup_{n=0}^{\infty} C_{n})= \cup_{n=0}^{\infty}f(C_{n}) = \cup_{n=0}^{\infty}C_{n+1} = \cup_{n=1}^{\infty}C_{n}.
\displaystyle D = A-C = A -\bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n} = \bigcap_{n=0}^{\infty} (A-C_{n}).
Entonces f(C) \cup D = B (unión disjunta) y definimos una aplicación g:A \rightarrow B mediante

\displaystyle g (x) =f(x), si x \in C,
\displaystyle g (x) =x, si x \in D,

Esta aplicación es una biyección entre A y B, luego |A| = |B|

Lema 2.Sean A y B dos conjuntos y sea f: A \rightarrow B una aplicación inyectiva. Si |f(A)| = |B| entonces |A| = |B|.

Prueba. Si f: A \rightarrow B es una aplicación inyectiva, entonces la aplicación f: A \rightarrow f(A) es una biyección. Si suponemos que |f(A)| = |B|, entonces existe una biyección h: f(A) \rightarrow B por lo que la composición h \circ f es una biyección entre A y B y esto termina la demostración.

Teorema 3 (Cantor-Schröder-Bernstein).Sean A y B dos conjuntos tales que |A| \leq B y |B| \leq |A|. Entonces |A| = |B|.

Prueba. Existen aplicaciones inyectivas f: A \rightarrow B y g:B \rightarrow A. Por tanto, la composición g \circ f:A \rightarrow A es una biyección (ya que el ser una inyección de un conjunto en sí mismo resulta también sobreyectiva). Claramente
\displaystyle g \circ f (A) \subset g(B) \subset A..
Obviamente |g \circ f(A)| = |A |, por lo que aplicando el lema 1 concluimos que |A | = |g(B) |. Finalmente, aplicando el lema 2 concluimos que |A|=|B|.

Estos resultados nos llevan a afirmar que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| =|\mathbb{R}|.

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Curso EVT. Lectura 23. Cardinales (6)

Vamos a ver que cualquier intervalo acotado no vacío y que no se limite a un solo punto (degenerado) es equipotente a toda la recta real.

Teorema 1. Todo intervalo I \subset \mathbb{R}, no vacío ni degenerado, es equipotente a \mathbb{R}

Prueba. Consideremos los intervalos unidad I_{1}=[0,1], I_{2}=[0,1[ e I_{3} =]0,1]. Vamos a establecer una biyección entre dichos intervalos y el intervalo ]0,1[. Comenzamos con el intervalo cerrado I_{1}. Sea A = \mathbb{Q} \cap I_{1} el conjunto de los racionales del intervalo cerrado unidad y sea B=\mathbb{Q} \cap ]0,1[ el conjunto de los racionales del intervalo abierto unidad. Como A y B son subconjuntos infinitos de un conjunto numerable serán también infinito numerables por lo que existe una biyección g_{1} entre A y B. Vamos a definir entonces la aplicación f_{1} entre [0,1] y ]0,1[ mediante

f_{1}(x) = x, si x \in [0,1]-A
f_{1}(x) = g_{1}(x), si x \in A.

Esta aplicación es una biyección entre [0,1] y ]0,1[. Para el resto de intervalos sólo hay que modificar ligeramente la argumentación para obtener las correspondientes biyecciones f_{2} y f_{3}. Sean ahora a y b dos números reales con a<b. Podemos definir cualquier intervalo no vacío, acotado y no degenerado como alguno de los [a,b], [a,b[, ]a,b] y ]a,b[. La aplicación h(x) = \frac{1}{b-a} (x-a) es una biyección de cada uno de ellos en los intervalos [0,1], [0,1[, ]0,1] y ]0,1[, respectivamente. Las composiciones f_{i} \circ h, para i=1,2,3 resultan pues biyecciones de cada uno de los intervalos [a,b], [a,b[, ]a,b] en el intervalo abierto unidad ]0,1[. Como dicho intervalo es equipotente a la recta real, cada uno de estos intervalos resulta también equipotente a la recta real. Finalmente, el intervalo abierto ]a,b[ se pone en biyección con el intervalo abierto unidad mediante h y por ello también es equipotente a \mathbb{R}. Esto termina nuestra demostración.

Sea X un conjunto y sea A un subconjunto de X.

Definición 1. La función característica o indicadora de A es la función \lambda_{A} : X \rightarrow \{0, 1\}, dada por \lambda_{A} (x) = 1 si x \in A y \lambda_{A}(x) = 0 si x \notin A.

Veamos algunas interesantes propiedades de esta función.

Teorema 2. Sean A y B subconjuntos de X. Se cumplen
a) \lambda_{X} =1 y \lambda_{\emptyset} = 0.
b)A \subset B, si y sólo si \lambda_{A} \leq \lambda_{B}.
c)\lambda_{A} = \lambda_{B} si y sólo si A=B.
d)\lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} \lambda_{B}.
e)\lambda _{A \cup B} + \lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} + \lambda_{B}.
e)\lambda_{\overline{A}} = 1 - \lambda_{A}

Prueba. Trivialmente, para todo x \in X será \lambda_{X} (x) = 1 por lo que la función característica de la totalidad del conjunto será la función constante e igual a la unidad. Análogamente, como ningún x \in X pertenece al conjunto vacío, la función característica del conjunto vacío será la función constante e igual a cero. Esto prueba el apartado (a). Sean ahora A y B dos conjuntos y supongamos que A \subset B. En tal caso, para cada x \in A tenemos x \in B por lo que \lambda_{A} (x) =1 \leq 1 =\lambda_{B} (x). Si fuera x \in B pero x \notin A, tendríamos que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 1 = \lambda_{B} (x) y, para acabar, si fuera x \notin B, entonces también x \notin A por lo que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 0 = \lambda_{B} (x). En todos los casos es \lambda_{A} (x)  \leq  \lambda_{B} (x), lo que permite escribir la desigualdad \lambda_{A} \leq \lambda_{B}. El recíproco es análogo. Por tanto, hemos probado (b). Para probar (c), bastará darse cuenta que A = B si y sólo si A \subset   B y B \subset A y aplicar (b). El resto de demostraciones las dejamos a cargo del lector por su simplicidad.

Sea $X$ un conjunto cualquiera. Designamos por \mathcal{P}(X) el conjunto de todos sus subconjuntos (o partes).

Teorema 3. El conjunto \{0,1\}^{X} de todas las funciones características de X es equipotente al conjunto de sus partes \mathcal{P}(X).

Prueba. Sea la función f: \mathcal{P} (X) \rightarrow \{0,1\}^{X}, definida por f(A) = \lambda_{A} para cada A \in \mathcal{P}(X). Veremos que es una biyección. En efecto, si fuera \lambda_{A} = \lambda_{B}, entonces A = B por (c) del teorema 2. Esto prueba que f es inyectiva. Sea ahora h un elemento cualquiera de \{0,1\}^{X}. El conjunto A = \{ x \in X : h(x) =1 \} nos sirve para comprobar que \lambda_{A} = h y concluimos que f es sobreyectiva.

Con este resultado y apoyándonos en el teorema 1 de la lectura 22 estamos en condiciones de probar un interesante resultado.

Teorema 4. El conjunto de las partes de \mathbb{N} es no numerable.

Prueba. Evidentemente, el conjunto \{0,1 \}^{\mathbb{N}} de las funciones características de \mathbb{N} coincide con \Delta. Por tanto, aplicando el teorema 3 es \mathcal{P}(\mathbb{N}) equipotente a \Delta y aplicando el teorema 1 de la lectura 22 resultará que al ser \Delta no numerable también lo es \mathcal{P}(\mathbb{N}). Aquí termina la demostración.

Existe un resultado más general debido a Cantor que relaciona un conjunto con el conjunto de sus partes.

Teorema 5. Sea A un conjunto. Entonces |A |< |\mathcal{P}(A)|

Prueba. En primer lugar, la aplicación f: A \rightarrow \mathcal{P}(A), dada por f(x) = \{x \} es inyectiva. Por tanto, |A| \leq |\mathcal{P}(A)|. Veamos que no existe ninguna aplicación sobreyectiva entre A y el conjunto de sus partes utilizando la reducción al absurdo. Sea \phi : A \rightarrow \mathcal{P}(A) tal aplicación sobreyectiva y consideremos el conjunto B = \{x \in A : x \notin \phi(x) \}. Para dicho conjunto B podríamos hallar al menos un b \in X tal que \phi(b) = B. Por tanto, si b \in B concluiremos que b \notin \phi(b) = B y si b \notin B concluiremos que b \in \phi(b) =B. En cualquier caso hay contradicción. Así pues, no existe tal aplicación sobreyectiva y el teorema queda demostrado.

Esto permite construir una serie de infinitos cada vez mayores partiendo de un conjunto infinito cualquiera. Por ejemplo, partimos de los naturales y el conjunto de sus partes es “mayor” que los naturales. El conjunto de las partes de las partes será mayor y así sucesivamente. En la siguiente lectura veremos que el conjunto de los números reales es equipotente al de las partes de los naturales y como herramienta de esta prueba definiremos el llamado “Conjunto de Cantor”.