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Estudiante con vocación de profesor

Sobre las ecuaciones de la recta en el plano (II)

Explicación en video de cómo se obtiene la relación entre las pendientes de rectas perpendiculares en el plano.  Al principio hay un pequeño error: cuando digo “abscisa en el origen” debería decir “ordenada en el origen”.

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Ejercicios Resueltos (G. N. Berman)

Del texto “Problemas y Ejercicios del Análisis Matemático” (G. N. Berman, Ed. Mir, 2ª edición) vamos a resolver algunos ejercicios relativos al cálculo de dominios de funciones reales de variable real.

Ej. 48. 6) y=\frac{3}{4-x^2}+ \ln (x^3-x).

Aquí tenemos la suma de dos funciones y_1=\frac{3}{4-x^2} (algebraica) e y_2 =\ln (x^3-x) (trascendente). El dominio buscado es la intersección de los dominios de estas dos funciones. Comenzamos con y_1 y tenemos que

dom(y_1) = \{ x \in \mathbb{R} : 4-x^2 \neq 0 \}.

La solución de 4-x^2 = 0 es inmediata si la ponemos en la forma 2^2-x^2 = (2-x)(2+x)=0. Así pues,

dom(y_1) = \mathbb{R} - \{-2, 2\} =]-\infty, -2[ \cup ]-2,2[ \cup]2, +\infty[.

Recordemos que la función logaritmo neperiano ( y cualquier otro logaritmo de base diferente) tiene por dominio los reales positivos. Es decir,

dom(y_2) = \{ x \in \mathbb{R} : x^3-x >0 \}.

Ahora tenemos que resolver la inecuación x^3-x >0 y para ello necesitamos resolver la ecuación auxiliar x^3-x=0 Descomponemos en la forma

x^3-x=x (x^2-1) = x (x-1)(x+1)=0,

y obtenemos las soluciones x_1=0, x_2=-1, x_3 = 1. Utilizando estos puntos dividimos la recta real en los intervalos abiertos ]-\infty, -1[, ]-1,0[,]0,1[,]1, +\infty[ (pues la desigualdad es estricta) y estudiamos el signo del producto x(x-1)(x+1) en cada uno de ellos. Obtenemos que la solución es ]-1,0[ \cup ]1, +\infty[. Por tanto,

dom(y) = dom(y_1) \cap dom(y_2) = (]-\infty, -2[ \cup ]-2,2[ \cup ]2, +\infty[) \cap (]-1,0[ \cup ]1, +\infty[) = ]-1,0[ \cup ]1,2[ \cup ]2,+\infty[

Una ecuación trigonométrica

Del texto de problemas “Ejercicios de Análisis”, del doctor en Ciencias J. Rivaud extraigo la siguiente ecuación trigonométrica:

\cos x - \cos (2x) = \sin (3x).

Me ha parecido adecuado resolverla porque en ella aparecen muchas cuestiones que es necesario tener en cuenta en este tipo de ecuaciones. Así puede resultar un ejercicio de gran interés. En primer lugar, se nos puede ocurrir desarrollar los valores de \cos (2x) y \sin (3x) utilizando las igualdades conocidas:

\cos(2x) = \cos^2(x)- \sin^2(x),

\sin(3x) = 3 \sin (x) \cos^2 (x) - \sin^{3} x.

Pero esto es una muy mala idea. Este desarrollo se hace largo y no se consigue nada. Primero vamos a escribir

\cos x - \cos (2x) - \sin (3x) =0, (1)

y luego debemos recordar que

\cos (A)- \cos (B) = -2 \sin (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Por tanto, la ecuación (1) queda como

-2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{-x}{2})- \sin (3x) = 0,

que simplificada (recordemos que \sin (-a) = -\sin a ) queda

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2})- \sin (3x)=0. (2)

En este punto parece que no hemos llegado a ninguna parte. Pero basta utilizar la igualdad

\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}

para tener

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{3x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) =0.

Esta expresión se puede factorizar y esto es muy interesante. Así tenemos

2 \sin (\frac{3x}{2}) (\sin(\frac{x}{2}) -\cos (\frac{3x}{2})) =0.

Esto nos lleva a dos ecuaciones

2 \sin (\frac{3x}{2})=0, (2)

\sin(\frac{x}{2})- \cos(\frac{3x}{2}) =0. (3)

Pasamos a resolver (2). En la forma dada es inmediato que

\frac{3x}{2} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

luego

x = \frac{2k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}.

Veamos ahora (3). Para simplificar utilizamos

\cos a = \sin (\frac{\pi}{2} -a).

Por tanto, quedará

\sin(\frac{x}{2} )- \sin(\frac{\pi}{2} -\frac{3x}{2}) =0. (4)

Para factorizar de nuevo usamos

\sin A - \sin B = 2 \cos (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Así pues, tenemos que (4) se expresa como

2 \cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}) \sin(x-\frac{\pi}{4}) =0.

Es decir,

\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})  =0, (5)

\sin(x-\frac{\pi}{4}) =0. (6)

Por tanto, para (5) es

 \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2} = (2k+1) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z},

x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}

y para (6) es

x- \frac{\pi}{4} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

x =\frac{\pi}{4} + k \pi, k \in \mathbb{Z}.

Estas son todas la soluciones posibles.