Ejercicios Resueltos (G. N. Berman)

Del texto “Problemas y Ejercicios del Análisis Matemático” (G. N. Berman, Ed. Mir, 2ª edición) vamos a resolver algunos ejercicios relativos al cálculo de dominios de funciones reales de variable real.

Ej. 48. 6) y=\frac{3}{4-x^2}+ \ln (x^3-x).

Aquí tenemos la suma de dos funciones y_1=\frac{3}{4-x^2} (algebraica) e y_2 =\ln (x^3-x) (trascendente). El dominio buscado es la intersección de los dominios de estas dos funciones. Comenzamos con y_1 y tenemos que

dom(y_1) = \{ x \in \mathbb{R} : 4-x^2 \neq 0 \}.

La solución de 4-x^2 = 0 es inmediata si la ponemos en la forma 2^2-x^2 = (2-x)(2+x)=0. Así pues,

dom(y_1) = \mathbb{R} - \{-2, 2\} =]-\infty, -2[ \cup ]-2,2[ \cup]2, +\infty[.

Recordemos que la función logaritmo neperiano ( y cualquier otro logaritmo de base diferente) tiene por dominio los reales positivos. Es decir,

dom(y_2) = \{ x \in \mathbb{R} : x^3-x >0 \}.

Ahora tenemos que resolver la inecuación x^3-x >0 y para ello necesitamos resolver la ecuación auxiliar x^3-x=0 Descomponemos en la forma

x^3-x=x (x^2-1) = x (x-1)(x+1)=0,

y obtenemos las soluciones x_1=0, x_2=-1, x_3 = 1. Utilizando estos puntos dividimos la recta real en los intervalos abiertos ]-\infty, -1[, ]-1,0[,]0,1[,]1, +\infty[ (pues la desigualdad es estricta) y estudiamos el signo del producto x(x-1)(x+1) en cada uno de ellos. Obtenemos que la solución es ]-1,0[ \cup ]1, +\infty[. Por tanto,

dom(y) = dom(y_1) \cap dom(y_2) = (]-\infty, -2[ \cup ]-2,2[ \cup ]2, +\infty[) \cap (]-1,0[ \cup ]1, +\infty[) = ]-1,0[ \cup ]1,2[ \cup ]2,+\infty[

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