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Una ecuación trigonométrica

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Del texto de problemas “Ejercicios de Análisis”, del doctor en Ciencias J. Rivaud extraigo la siguiente ecuación trigonométrica:

.

Me ha parecido adecuado resolverla porque en ella aparecen muchas cuestiones que es necesario tener en cuenta en este tipo de ecuaciones. Así puede resultar un ejercicio de gran interés. En primer lugar, se nos puede ocurrir desarrollar los valores de y utilizando las igualdades conocidas:

,

.

Pero esto es una muy mala idea. Este desarrollo se hace largo y no se consigue nada. Primero vamos a escribir

, (1)

y luego debemos recordar que

.

Por tanto, la ecuación (1) queda como

,

que simplificada (recordemos que ) queda

. (2)

En este punto parece que no hemos llegado a ninguna parte. Pero basta utilizar la igualdad

para tener

.

Esta expresión se puede factorizar y esto es muy interesante. Así tenemos

.

Esto nos lleva a dos ecuaciones

, (2)

. (3)

Pasamos a resolver (2). En la forma dada es inmediato que

, ,

luego

, .

Veamos ahora (3). Para simplificar utilizamos

.

Por tanto, quedará

. (4)

Para factorizar de nuevo usamos

.

Así pues, tenemos que (4) se expresa como

.

Es decir,

, (5)

. (6)

Por tanto, para (5) es

, ,

,

y para (6) es

, ,

, .

Estas son todas la soluciones posibles.

 

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