Una ecuación trigonométrica

Del texto de problemas “Ejercicios de Análisis”, del doctor en Ciencias J. Rivaud extraigo la siguiente ecuación trigonométrica:

\cos x - \cos (2x) = \sin (3x).

Me ha parecido adecuado resolverla porque en ella aparecen muchas cuestiones que es necesario tener en cuenta en este tipo de ecuaciones. Así puede resultar un ejercicio de gran interés. En primer lugar, se nos puede ocurrir desarrollar los valores de \cos (2x) y \sin (3x) utilizando las igualdades conocidas:

\cos(2x) = \cos^2(x)- \sin^2(x),

\sin(3x) = 3 \sin (x) \cos^2 (x) - \sin^{3} x.

Pero esto es una muy mala idea. Este desarrollo se hace largo y no se consigue nada. Primero vamos a escribir

\cos x - \cos (2x) - \sin (3x) =0, (1)

y luego debemos recordar que

\cos (A)- \cos (B) = -2 \sin (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Por tanto, la ecuación (1) queda como

-2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{-x}{2})- \sin (3x) = 0,

que simplificada (recordemos que \sin (-a) = -\sin a ) queda

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2})- \sin (3x)=0. (2)

En este punto parece que no hemos llegado a ninguna parte. Pero basta utilizar la igualdad

\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}

para tener

2 \sin (\frac{3x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{3x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) =0.

Esta expresión se puede factorizar y esto es muy interesante. Así tenemos

2 \sin (\frac{3x}{2}) (\sin(\frac{x}{2}) -\cos (\frac{3x}{2})) =0.

Esto nos lleva a dos ecuaciones

2 \sin (\frac{3x}{2})=0, (2)

\sin(\frac{x}{2})- \cos(\frac{3x}{2}) =0. (3)

Pasamos a resolver (2). En la forma dada es inmediato que

\frac{3x}{2} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

luego

x = \frac{2k \pi}{3}, k \in \mathbb{Z}.

Veamos ahora (3). Para simplificar utilizamos

\cos a = \sin (\frac{\pi}{2} -a).

Por tanto, quedará

\sin(\frac{x}{2} )- \sin(\frac{\pi}{2} -\frac{3x}{2}) =0. (4)

Para factorizar de nuevo usamos

\sin A - \sin B = 2 \cos (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}).

Así pues, tenemos que (4) se expresa como

2 \cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}) \sin(x-\frac{\pi}{4}) =0.

Es decir,

\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})  =0, (5)

\sin(x-\frac{\pi}{4}) =0. (6)

Por tanto, para (5) es

 \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2} = (2k+1) \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z},

x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}

y para (6) es

x- \frac{\pi}{4} = k \pi, k \in \mathbb{Z},

x =\frac{\pi}{4} + k \pi, k \in \mathbb{Z}.

Estas son todas la soluciones posibles.

 

Anuncios

6 pensamientos en “Una ecuación trigonométrica

  1. estefefania

    funciones monotomas
    son para nosotros los estudiantes de mucha importancia ya que ahora estamos estudiando este tema que nos ayuda demasiado y nos dan ejercios de como se resuelve y es de mucha ayuda al maestro y al estudiante y la creciente es X1;X2
    ejemplos sobre este tema :
    X1<_X2 ES F(X1)<_F(X2)

    ESTEFANIA GUANGA
    PRIMERO BACHILLERATO ¨A¨

    Responder
  2. karen melendrez

    yo entendi que una ecuacion trigonometrica es aquella en la que las incognitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonometricas
    Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas

    Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.

    Responder
  3. Maria Cali

    Las funciones trigonométricas me parece algo muy interesante ya que nos muestra como resolver problemas mediante procesos más cortos en los cuales se puede entender mucho mejor como resolverlos teniendo en cuenta a paso a paso cómo debemos hacerlo

    Maria Cali
    Primero bachillerato “A”

    Responder
  4. stalyn remache

    Bueno veo que es un tema muy interesante asi que quisiera aprender mas sobre eso y bueno saber completamente de lo que se trata

    Responder
  5. Andrea Auquilla

    este tema de las ecuaciones trigonometricas yo creo que es muy importante ya que aprendemos la resolución de triángulos por medio del cálculo y en esta pagina de temas relacionados con la matematica existe una manera mas facil con la siguiente formula :
    cos x – cos (2x) – sin (3x) =0, (1)
    y como dice en este tema despues hay que recordar el siguiente paso
    cos (A)- cos (B) = -2 sin (frac{A+B}{2}) sin (frac{A-B}{2}).
    su proximo paso seria:
    -2 sin (frac{3x}{2}) sin (frac{-x}{2})- sin (3x) = 0,
    que al simplificar quedaria lo siguiente:
    2 sin (frac{3x}{2}) sin (frac{x}{2})- sin (3x)=0. (2)
    sin en un acaso no llega a salir bien el resultado el proximo paso que continuaria seria el siguiente que es la igualdad:
    \sin a = 2 sin frac{a}{2} cos frac{a}{2}
    para obtener el siguiente resultado
    2 \sin (frac{3x}{2}) sin (frac{x}{2}) – 2 sin (frac{3x}{2}) cos(frac{3x}{2}) =0

    Andrea Auquilla
    primero de bachillerato “A”

    Responder

Responder a Andrea Auquilla Cancelar respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s