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La generación de la sigma-álgebra de Borel en la recta

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Sabemos que la -álgebra de Borel de la recta real es la generada por los abiertos de la topología usual. Existen otras clases que generan dicha -álgebra. A continuación esbozo una demostración de este hecho.

Las siguientes clases de partes de generan la -álgebra de Borel:

[(a)] La clase de los intervalos abiertos .
[(b)] La clase de los intervalos cerrados .
[(c)] La clase de los conjuntos cerrados.
[(d)] La clase de los conjuntos compactos.
[(e)] La clase de las bolas abiertas , donde es racional y también es racional.
[(f)] La clase de los intervalos .
[(g)] La clase de los intervalos .
[(h)] La clase de los intervalos no acotados .

(a). Recordemos que todo intervalo con es un abierto. Por tanto,
,
luego
.
Pero todo abierto de la topología usual es unión numerable y disjunta de intervalos abiertos. Por tanto, si es la topología usual en , tenemos

y de aquí
.
Luego .
(b). Dados , tenemos

por lo que concluimos que , luego y de aquí
.
Observemos que
.
Por tanto,$[a,b)$ y son elementos de y, en consecuencia,

es un elemento de , por lo que y esto implica que . Esta doble inclusión lleva a la igualdad .
(c). Veamos ahora la clase de los conjuntos cerrados. Sea un conjunto cerrado de la topología usual de la recta real, entonces su complementario es abierto, por lo que , luego y de aquí
.
Recíprocamente, si es un abierto de la topología usual, su complementario es cerrado y , luego y concluimos que
.
La doble inclusión lleva a la igualdad.
(d). Sea la clase de todos los compactos. Todo compacto de la topología usual de la recta es cerrado y acotado por lo que y, en consecuencia
.
Sea un cerrado y consideremos la familia . Esta familia está formada por conjuntos cerrados y acotados (compactos). Vemos que

son compactos (pues cada uno de ellos es intersección de cerrados y está acotado). Finalmente,
.
Esto prueba que y de aquí y . La doble inclusión lleva a la igualdad.
(e). Sabemos que toda bola con es un abierto y de aquí y por ello
.
Sean con y sea . Entonces es no vacío y numerable. Podemos escribir
.
Tomamos , para . Esta elección nos permite afirmar que
.
Por tanto, y de aquí y .
(f). Sea la clase formada por los intervalos de la forma con . Vemos que si es y si es
.
Esto prueba que y, en consecuencia, . Por otro lado,
.
Por lo que . Esto significa que , de donde
.
Es decir, .
(g). Utilizamos el mismo razonamiento que en (h) con las igualdades
,
.
(h) Sea la clase . Como todo elemento de dicha clase es un abierto se concluye de forma inmediata que
.
Por otro lado,
,
lo que prueba que y también su complementario pertenece a . En consecuencia, si , es

y resulta que por lo que y . La doble inclusión lleva a la igualdad buscada.

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