La generación de la sigma-álgebra de Borel en la recta

Sabemos que la \sigma-álgebra de Borel de la recta real es la generada por los abiertos de la topología usual. Existen otras clases que generan dicha \sigma-álgebra. A continuación esbozo una demostración de este hecho.

Las siguientes clases de partes de \mathbb{R} generan la \sigma-álgebra de Borel:

[(a)] La clase \mathcal{C}_1 de los intervalos abiertos (a,b).
[(b)] La clase \mathcal{C}_2 de los intervalos cerrados [a,b].
[(c)] La clase \mathcal{C}_3 de los conjuntos cerrados.
[(d)] La clase \mathcal{C}_4 de los conjuntos compactos.
[(e)] La clase \mathcal{C}_5 de las bolas abiertas B(q,r), donde q es racional y r>0 también es racional.
[(f)] La clase \mathcal{C}_6 de los intervalos (a,b].
[(g)] La clase \mathcal{C}_7 de los intervalos [a,b).
[(h)] La clase \mathcal{C}_8 de los intervalos no acotados (-\infty,b).

(a). Recordemos que todo intervalo (a,b) con a \leq b es un abierto. Por tanto,
\mathcal{C}_{1} \subset \mathbb{B},
luego
\sigma(\mathcal{C}_{1}) \subset \mathbb{B}.
Pero todo abierto A de la topología usual es unión numerable y disjunta de intervalos abiertos. Por tanto, si T es la topología usual en \mathbb{R}, tenemos
T \subset \sigma(\mathcal{C}_{1})
y de aquí
\mathbb{B} = \sigma(T) \subset \sigma(\mathcal{C}_{1}).
Luego \sigma(\mathcal{C}_{1})= \mathbb{B}.
(b). Dados a \leq b, tenemos
[a,b]^c = (-\infty,a) \cup (b,+\infty)
por lo que concluimos que [a,b] \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_{2} \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma (\mathcal{C}_{2}) \subset \mathbb{B}.
Observemos que
[a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a, b- \frac{1}{n} \bigg], \quad  (a,b] = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigg[ a+ \frac{1}{n}, b \bigg].
Por tanto,$[a,b)$ y (a,b] son elementos de \sigma(\mathcal{C}_2) y, en consecuencia,
(a,b) = [a,b) \cap (a,b]
es un elemento de \sigma(\mathcal{C}_{2}), por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_2) y esto implica que \mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_2). Esta doble inclusión lleva a la igualdad \sigma(\mathcal{C}_2) = \mathbb{B}.
(c). Veamos ahora la clase de los conjuntos cerrados. Sea C un conjunto cerrado de la topología usual de la recta real, entonces su complementario A = \mathbb{R}-C es abierto, por lo que C \in \mathbb{B}, luego \mathcal{C}_3 \subset \mathbb{B} y de aquí
\sigma(\mathcal{C}_3) \subset \mathbb{B}.
Recíprocamente, si A es un abierto de la topología usual, su complementario C=\mathbb{R}-A es cerrado y A \in \sigma(\mathcal{C}_3), luego T \subset \sigma(\mathcal{C}_3) y concluimos que
\mathbb{B} \subset \sigma(\mathcal{C}_3).
La doble inclusión lleva a la igualdad.
(d). Sea \mathcal{C}_4 la clase de todos los compactos. Todo compacto de la topología usual de la recta es cerrado y acotado por lo que \mathcal{C}_4 \subset \mathcal{C}_3 y, en consecuencia
\sigma(\mathcal{C}_4) \subset \sigma(\mathcal{C}_3) =\mathbb{B}.
Sea C un cerrado y consideremos la familia (\overline{B(0,n)})_{n\in \mathbb{N}}. Esta familia está formada por conjuntos cerrados y acotados (compactos). Vemos que
C \cap \overline{B(0,n)}, \quad n=1,2,\ldots
son compactos (pues cada uno de ellos es intersección de cerrados y está acotado). Finalmente,
C = \cup_{n \in \mathbb{N}} (C \cap \overline{B(0,n)}).
Esto prueba que C \in \sigma(\mathcal{C}_4) y de aquí \mathcal{C}_3 \subset \sigma(\mathcal{C}_4) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_3) \subset \sigma(\mathcal{C}_4). La doble inclusión lleva a la igualdad.
(e). Sabemos que toda bola B(q,r) con q,r \in \mathbb{Q} es un abierto y de aquí \mathcal{C}_5 \subset T y por ello
\sigma(\mathcal{C}_5) \subset \mathbb{B}.
Sean a,b \in \mathbb{R} con a < b y sea (a,b). Entonces \mathbb{Q} \cap (a,b) es no vacío y numerable. Podemos escribir
\mathbb{Q} \cap (a,b) = \{q_1, q_2, \ldots, q_n, \ldots \}.
Tomamos 0<r_n < \min \{|q_n-a|, |q_n-b| \}, para n=1,2, \ldots. Esta elección nos permite afirmar que
(a,b) = \bigcup_{n \geq 1} B(q_n, r_n).
Por tanto, (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_5) y de aquí \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_5) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_5).
(f). Sea \mathcal{C}_6 la clase formada por los intervalos de la forma (a,b] con a \leq b. Vemos que si a=b es (a,b]= \emptyset y si a <b es
(a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(a,b+\frac{1}{n} \bigg).
Esto prueba que \mathcal{C}_6 \subset \mathbb{B} y, en consecuencia, \sigma(\mathcal{C}_6) \subset \mathbb{B}. Por otro lado,
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( a-\frac{1}{n}, b \bigg].
Por lo que [a,b] \in \sigma(\mathcal{C}_6). Esto significa que \mathcal{C}_2 \subset \sigma(\mathcal{C}_6), de donde
\mathbb{B}= \sigma (\mathcal{C}_2) \subset \sigma(\mathcal{C}_6).
Es decir, \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_6).
(g). Utilizamos el mismo razonamiento que en (h) con las igualdades
[a,b) = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg(a-\frac{1}{n}, b \bigg),
[a,b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg[a, b+\frac{1}{n} \bigg).
(h) Sea la clase \mathcal{C}_8 = \{ (-\infty, b): b \in \mathbb{R} \}. Como todo elemento de dicha clase es un abierto se concluye de forma inmediata que
\sigma(\mathcal{C}_8) \subset \mathbb{B}.
Por otro lado,
(-\infty,a] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigg( -\infty, a+\frac{1}{n} \bigg),
lo que prueba que (-\infty,a]  \in \sigma(\mathcal{C}_8) y también su complementario (a,+\infty) pertenece a \sigma(\mathcal{C}_8). En consecuencia, si a<b, es
(a,b)=(-\infty,b) \cap (a,+\infty)
y resulta que (a,b) \in \sigma(\mathcal{C}_8) por lo que \mathcal{C}_1 \subset \sigma(\mathcal{C}_8) y \mathbb{B}= \sigma(\mathcal{C}_1) \subset \sigma(\mathcal{C}_8). La doble inclusión lleva a la igualdad buscada.

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