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Un ejercicio más de E.V.

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Recordemos que si y son dos subespacios vectoriales de , entonces el conjunto

es un subespacio de y además el más pequeño entre aquellos que incluyen a ambos. Es decir,
,
para todo subespacio de que incluye a y a . En el caso de que y sólo en ese caso diremos que la suma es directa y escribimos .  Por otro lado, la notación

hace referencia a la envoltura lineal del conjunto . Esto es, al subespacio vectorial formado por las combinaciones lineales de los elementos de o lo que es lo mismo, al menor subespacio vectorial que incluye a .

(a) Sean y dos subconjuntos finitos de vectores de , linealmente independientes. Por ejemplo, si suponemos que , y definimos

, .

Tenemos que

,

por lo que y la suma no es directa.

(b) Si , entonces o lo que es lo mismo, cada vector de se puede escribir de una sola forma como suma de un vector de y otro de . En particular, si formamos la combinación lineal

,

tenemos que

.

Es decir, tenemos un vector que pertenece a la intersección por lo que será nulo. Es decir,

,

.

Pero esto no garantiza que todos los escalares sean nulos. Sólo será posible si tanto como son linealmente independientes. Así que la afirmación (b) es falsa.

(c) Por nuestras explicaciones iniciales podemos afirmar que

.

Como y concluimos que

.

En consecuencia,

.

Por otro lado, si es un vector , hallaremos

,

tales que

,

luego . Esto prueba que y la doble inclusión nos lleva a la igualdad

.

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