Un ejercicio más de E.V.

Captura de pantalla de 2015-11-28 10-54-26

Recordemos que si E y F son dos subespacios vectoriales de V, entonces el conjunto

E+F = \{ u+v: u \in E, v \in F \}

es un subespacio de V y además el más pequeño entre aquellos que incluyen a ambos. Es decir,
E \cup F \subset E+F \subset H,
para todo H subespacio de V que incluye a E y a F. En el caso de que E \cap F = \{0 \} y sólo en ese caso diremos que la suma E+F es directa y escribimos E \bigoplus F.  Por otro lado, la notación

L(S)

hace referencia a la envoltura lineal del conjunto S. Esto es, al subespacio vectorial formado por las combinaciones lineales de los elementos de S o lo que es lo mismo, al menor subespacio vectorial que incluye a S.

(a) Sean S_1 y S_2 dos subconjuntos finitos de vectores de V, linealmente independientes. Por ejemplo, si suponemos que V = \mathbb{R}^2, y definimos

S_1= \{(0,1)\}, S_2 = \{(0,1),(1,1) \}.

Tenemos que

L(S_1) = \{(0.x) : x \in \mathbb{R} \}, \quad L(S_2) = \mathbb{R}^2 ,

por lo que L(S_1) \cap L(S_2) = L(S_1) y la suma L(S_1)+L(S_2) no es directa.

(b) Si L(S_1) \bigoplus L(S_2), entonces L(S_1) \cap L(S_2) = \{0\} o lo que es lo mismo, cada vector de L(S_1) + L(S_2) se puede escribir de una sola forma como suma de un vector de L(S_1) y otro de L(S_2). En particular, si formamos la combinación lineal

\lambda_1 u_1 + \lambda_n u_n+ \mu_1 v_1+ \ldots + \mu_m v_m =0,

tenemos que

\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n v_n = -\mu_1 v_1 - \ldots - \mu_m v_m.

Es decir, tenemos un vector que pertenece a la intersección L(S_1) \cap L(S_2) por lo que será nulo. Es decir,

\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_n v_n = 0,

-\mu_1 v_1 - \ldots - \mu_m v_m = 0.

Pero esto no garantiza que todos los escalares sean nulos. Sólo será posible si tanto S_1 como S_2 son linealmente independientes. Así que la afirmación (b) es falsa.

(c) Por nuestras explicaciones iniciales podemos afirmar que

L(S_1) \cup L(S_2) \subset L(S_1)+L(S_2).

Como S_1 \subset L(S_1) y S_2 \subset L(S_2) concluimos que

S_1 \cup S_2 \subset L(S_1) \cup L(S_2) \subset L(S_1)+L(S_2).

En consecuencia,

L(S_1 \cup S_2) \subset L(S_1)+ L(S_2).

Por otro lado, si z es un vector L(S_1)+L(S_2), hallaremos

u = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i, \quad v= \sum_{j=1}^{m} \mu_{j} v_j,

tales que

z = u+v = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i+\sum_{j=1}^{m} \mu_{j} v_j,

luego z \in L(S_1 \cup S_2). Esto prueba que L(S_1) + L(S_2) \subset L(S_1 \cup S_2) y la doble inclusión nos lleva a la igualdad

L(S_1 \cup S_2) =L(S_1)+ L(S_2).

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