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Solución ejercicio espacio vectorial

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Respondiendo al correo de consultas de hoy, voy a resolver el siguiente ejercicio:

En primer lugar, debemos recordar que una base de Hamel (o base algebraica) de un espacio vectorial es una familia de vectores de dicho espacio que es linealmente independiente y que genera dicho espacio.  El cardinal de la familia de vectores de cualquier base es siempre el mismo y se llama dimensión del espacio vectorial. En el caso de que el cardinal sea finito diremos que el espacio vectorial es de dimensión finita y entonces podemos dar una serie de resultados más sencillos de entender y manejar:

  1. En un espacio vectorial de dimensión , todo sistema linealmente independiente tiene como máximo vectores.
  2. En un espacio vectorial de dimensión , todo sistema linealmente independiente con vectores es una base.

En nuestro problema vamos a utilizar el segundo resultado. En efecto, si es una base de , entonces la dimensión de es y bastará probar que es una familia de vectores linealmente independientes para concluir que son una base de . ¿Cómo hacemos esto? Pues planteando la combinación lineal trivial
.
En nuestro caso,
.
Esto parece muy difícil en notación de sumatorios pero en realidad es

.
Como son linealmente independientes (recordemos que son una base), entonces
,
,
,
.
Es decir, obtenemos un sistema homogéneo cuya única solución es
.
Esto prueba que es linealmente independiente y por ello, aplicando el resultado 2, es una base.

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