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Un problema de sucesiones de conjuntos

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Problema: Sean y sucesiones de partes de un conjunto y sea , para todo . Probar que entonces y que la misma relación de inclusión se tiene para el límite inferior.
Solución: Como resulta que , para todo , si definimos las sucesiones:
,
,
podemos probar por inducción que
, para todo . Es decir,
.
El mismo razonamiento se puede aplicar para demostrar la inclusión del límite superior usando las sucesiones
,
.
Esto termina nuestro desarrollo. Ahora bien, ¿cómo utilizamos la inducción para probar que ? Pues bien, vamos a esbozar el procedimiento. En primer lugar, dado definimos para :
,
.
Por hipótesis, si es fijo
.
Entonces,
.
Esto significa que para cualquier es
,
luego
,
que es lo que queríamos probar.

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