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Corrección errata

En los problemas del Capítulo uno del borrador del texto sobre Teoría de la Medida hay una errata que ya he corregido. Este es el enunciado correcto.

Problema: Sean \mathcal{S}_1 y \mathcal{S}_2, semianillos sobre X e Y, respectivamente. Probar que el producto \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2 es un semianillo sobre X \times Y.
¿Cómo podemos utilizar este resultado para resolver el problema anterior?}
Solución: Sabemos que el vacío pertenece a todo semianillo. Por tanto,
\emptyset \times \emptyset = \emptyset \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2 .
Sean E y F elementos de \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Hallaremos A_1, B_1 \in \mathcal{S}_1 y A_2, B_2 \in \mathcal{S}_2, tales que
E = A_1 \times A_2, \quad F = B_1 \times B_2.
Por ello,
E \cap F = (A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) = (A_1 \cap B_1) \times (A_2 \cap B_2).
Pero todo semianillo es un \pi-sistema por lo que A_1 \cap B_1 \in \mathcal{S}_1, A_2 \cap B_2 \in \mathcal{S}_2 y E \cap F \in \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Por tanto, el producto cartesiano de semianillos también es un \pi-sistema. Por otro lado,
E-F = (A_1 \times A_2)- (B_1 \times B_2) = ((A_1-B_1) \times A_2)) \biguplus ((A_1 \cap B_1) \times (A_2-B_2)).
Pero sabemos que A_1-B_1 = \biguplus_{i=1}^{n} C_i y A_2-B_2 = \biguplus_{j=1}^{m} D_j, donde C_i \in \mathcal{S}_1 y D_j \in \mathcal{S}_2. Por tanto, si hacemos A_1 \cap B_1 = H_1 \in \mathcal{S}_1, tenemos
E-F = ((A_1-B_1) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (A_2-B_2)) =
((\biguplus_{i=1}^{n} C_i) \times A_2) \biguplus (H_1 \times (\biguplus_{j=1}^{m} D_j)) = \bigg(\biguplus_{i=1}^{n} (C_i \times A_2) \bigg) \biguplus \bigg( \biguplus_{j=1}^{m} (H_1 \times D_j) \bigg)

Es decir, E-F es unión finita y disjunta de elementos de \mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2. Este resultado se puede generalizar por inducción para n semianillos, donde n es un entero positivo mayor o igual que dos. Bastará recordar que se define
\times_{i=1}^{n} S_i = (\times_{i=1}^{n-1} S_i) \times S_n .

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