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Un ejercicio de inducción

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Probar por inducción que es divisible por 24 (o equivalentemente que es múltiplo de 24).

Solución: Este problema no se resuelve aplicando directamente la inducción. Hay que dar un pequeño “rodeo”. Lo esencial es advertir que

.

Si tenemos eso en mente veremos que basta probar que es múltiplo de , es múltiplo de y es múltiplo de de 24.

Para tenemos

es múltiplo de 2.

es múltiplo de 6.

es múltiplo de 24.

La hipótesis de inducción para es que es múltiplo de 2, lo es de 6 y lo es de 24. Vemos que ocurre para .

. Como hemos asumido que es múltiplo de 2, es obvio que es un múltiplo de 2 al ser suma de múltiplos de 2.

. Como hemos supuesto que es múltiplo de 2 es obvio que es múltiplo de 6 y como es múltiplo de 6, concluimos que la suma es múltiplo de seis al ser suma de dos múltiplos de este número.

.

De nuevo aplicando la hipótesis de inducción vemos que es múltiplo de 24. Ahora bien, como es múltiplo de 6, concluimos que es múltiplo de 24 y la suma ha de ser múltiplo de 24. Esto termina la demostración.

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