Mathematicae

Un ejercicio de inducción

Probar por inducción que n(n+1)(n+2)(n+3) es divisible por 24 (o equivalentemente que n(n+1)(n+2)(n+3) es múltiplo de 24).

Solución: Este problema no se resuelve aplicando directamente la inducción. Hay que dar un pequeño “rodeo”. Lo esencial es advertir que

24 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.

Si tenemos eso en mente veremos que basta probar que n(n+1) es múltiplo de 2! =2, n(n+1)(n+2) es múltiplo de 3! = 6 y n(n+1)(n+2)(n+2) es múltiplo de de 24.

Para n=1 tenemos

1 \cdot 2 =2 es múltiplo de 2.

1 \cdot 2 \cdot 3=6 es múltiplo de 6.

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot =24 es múltiplo de 24.

La hipótesis de inducción para k es que k(k+1) es múltiplo de 2, k(k+1)(k+2) lo es de 6 y k(k+1)(k+2)(k+3) lo es de 24. Vemos que ocurre para k+1.

(k+1)(k+2) = (k+2)(k+1)=k(k+1)+ 2(k+1). Como hemos asumido que k(k+1) es múltiplo de 2, es obvio que k(k+1)+2(k+1) es un múltiplo de 2 al ser suma de múltiplos de 2.

(k+1)(k+2)(k+3) = (k+3) (k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2). Como hemos supuesto que (k+1)(k+2) es múltiplo de 2 es obvio que 3(k+1)(k+2) es múltiplo de 6 y como k(k+1)(k+2) es múltiplo de 6, concluimos que la suma es múltiplo de seis al ser suma de dos múltiplos de este número.

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+4)(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3).

De nuevo aplicando la hipótesis de inducción vemos que k(k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 24. Ahora bien, como (k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 6, concluimos que 4(k+1)(k+2)(k+3) es múltiplo de 24 y la suma ha de ser múltiplo de 24. Esto termina la demostración.

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5 comentarios

  1. En este articulo entendí que para resolver un ejercicio de inducción hay que sacar primero el múltiplo o también sus divisible o si no el ejercicio no se podrá resolver normalmente o se tardara mas.
    PRIMERO BACHILLERATO “A”
    Alan Segarra

    Responder

  2. En esta página nos da a conocer de forma precisa y comprensible como resolver ejercicios de inducción.
    Para resolver estos ejercicios comprobando por (n = 1); (n = k ) y (n = k+1) hay que sustituir en la ecuación principal y luego resolver simplificando para al final obtener la igualdad correspondiente.
    Lizbeth Ramirez
    Primero de bachillerato “A”

    Responder

  3. En este tema como los son los ejercicios de induccion entendí que para resolver el ejercicio no lo hacemos directamente si no que hay que seguir un cierto proceso, primero hay que descomponer el número en sus números primos e ir comprobando si es divisible para dicho número.
    Primero Bachillerato “A”

    Responder

  4. En este tema como los son los ejercicios de induccion entendí que para resolver el ejercicio no lo hacemos directamente si no que hay que seguir un cierto proceso, primero hay que descomponer el número en sus números primos e ir comprobando si es divisible para dicho número.

    Responder

  5. Para este articulo de ejercicio de inducción lo que entendí fue que para resolver estos ejercicios de inducción necesitamos saber sus divisibles y obtener la cantidad divisible para los números del ejercicio.
    Y para su comprobación tiene que ser un numero múltiplo para sus numero y cantidad.
    Primero bachillerato “A”
    Yesenia Lliquin

    Responder

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