Consultorio: Una desigualdad a demostrar

Sea n un entero positivo mayor o igual que 2 y sean a_1, a_2, \ldots, a_n números positivos. Si definimos su media aritmética como
A_n = \frac{a_1+ \ldots +a_n}{n}
se nos pide demostrar sin usar la desigualdad de las medias aritmética y geométrica que
A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n.
Creo que he encontrado una demostración y aquí la expongo para que me corrijáis si es necesario.
Supongamos que n \geq 2 está dado. Entonces podemos considerar, sin pérdida de generalidad que
a_1 \leq a_2 \ldots \leq a_{n-1} \leq a_n.
Recordemos esta hipótesis para más adelante. Ahora vemos que
A_{n-1} = \frac{a_1+\ldots+a_{n-1}}{n-1}
por lo que
(n-1)A_n = a_1+ \ldots a_{n-1}.
Por ello
A_{n} = \frac{a_1+\ldots+a_{n-1}+a_n}{n}
puede ponerse como
nA_{n} = (n-1) A_{n-1} +a_n.
Esto nos sirve para despejar a_n y así la desigualdad buscada queda (aparentemente más difícil) como
A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} (nA_{n} - (n-1) A_{n-1}).
Vamos a simplificar un poco
A_{n}^{n} \geq n A_{n-1}^{n-1} A_{n} -nA_{n-1}^{n} + A_{n-1}^{n},
A_{n}^{n} - A_{n-1}^{n} \geq n A_{n-1}^{n-1} (A_{n} - A_{n-1}).
Ahora debemos recordar la siguiente igualdad
a^{n} -b^{n} = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k}
(ver “Análisis Matemático” de T.M. Apostol, Segunda Edición, pág. 31).
En efecto, esta igualdad nos permite afirmar que si a \neq b
\frac{a^{n}-b^{n}}{(a-b)} = \sum_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k}
por lo que en este caso, si A_n \neq A_{n-1} tenemos
\frac{A_{n}^{n} - A_{n-1}^{n}}{(A_{n} - A_{n-1})} \geq n A_{n-1}^{n-1},
\sum_{k=1}^{n} A_{n}^{k-1} A_{n-1}^{n-k} \geq n A_{n-1}^{n-1}.
En este punto veremos que con la hipótesis
a_1 \leq a_2 \leq \ldots a_n, se tiene
A_{n-1} \leq A_n.
En efecto, si la desigualdad fuera cierta entonces
\frac{a_1+ \ldots + a_{n-1}}{n-1} \leq \frac{a_1+ \ldots+ a_n}{n},
n (a_1+ \ldots + a_{n-1}) \leq (n-1) (a_1+ \ldots + a_{n-1})+ (n-1) a_n,
(n-(n-1))(a_1+ \ldots a_{n-1}) \leq (n-1) a_n,
a_1+ \ldots + a_{n-1} \leq (n-1) a_n.
Pero como hemos supuesto que a_i \leq a_n, para i=1,2, \ldots, n-1 vemos que esta última desigualdad es cierta.
Por tanto,
A_{n-1}^{k} \leq A_{n}^{k}, para k=0,1,2, \ldots, lo que supone que si tomamos k=0, \ldots, n-1, entonces
A_{n-1}^{k}A_{n-1}^{n-1-k} \leq A_{n-1}^{n-1} A_{n}^{n-1-k}.
Es decir
A_{n-1}^{n-1} \leq A_{n}^{k} A_{n-1}^{n-1-k}, k=0,1, \ldots, n-1,
lo que equivale a
A_{n-1}^{n-1} \leq A_{n}^{k-1} A_{n-1}^{n-k}, k=1,2, \ldots, n.
Finalmente, sumando estas expresiones tenemos
n A_{n-1}^{n-1} \leq \sum_{k=1}^{n} A_{n}^{k-1} A_{n-1}^{n-k}
que es la forma equivalente de la desigualdad buscada.

Si fuera A_n = A_{n-1}, entonces  a_1 = a_2 = \ldots =a_n =a,  por lo que

A_n^{n} = a^{n} = a^{n-1} a = A_{n-1}^{n-1} a_{n}.

En cualquier otro caso la desigualdad sería estricta.

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