Consultorio: Una desigualdad a demostrar (III)

Como último detalle relativo a la desigualdad que estamos tratando vamos a probar precisamente la desigualdad de las medias aritmética y geométrica (AM-GM para abreviar).

Supongamos que dados n números positivos a_1, a_2, \ldots, a_n es A_n = \frac{ \sum_{i=1}^{n} a_i}{n} su media aritmética. Hemos visto que se cumple

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n

para todo n \geq 2. Reiterando esta desigualdad

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n \geq A_{n-2}^{n-2} a_{n-1} a_n \geq \ldots \geq A_{1}^{1} a_2 \ldots a_{n-1} a_{n}.

Ahora bien, A_1 = a_1 por lo que queda

A_{n}^{n} \geq a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n,

A_{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n}.

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