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Consultorio: Una desigualdad a demostrar

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Sea un entero positivo mayor o igual que 2 y sean números positivos. Si definimos su media aritmética como

se nos pide demostrar sin usar la desigualdad de las medias aritmética y geométrica que
.
Creo que he encontrado una demostración y aquí la expongo para que me corrijáis si es necesario.
Supongamos que está dado. Entonces podemos considerar, sin pérdida de generalidad que
.
Recordemos esta hipótesis para más adelante. Ahora vemos que

por lo que
.
Por ello

puede ponerse como
.
Esto nos sirve para despejar y así la desigualdad buscada queda (aparentemente más difícil) como
.
Vamos a simplificar un poco
,
.
Ahora debemos recordar la siguiente igualdad

(ver “Análisis Matemático” de T.M. Apostol, Segunda Edición, pág. 31).
En efecto, esta igualdad nos permite afirmar que si

por lo que en este caso, si tenemos
,
.
En este punto veremos que con la hipótesis
, se tiene
.
En efecto, si la desigualdad fuera cierta entonces
,
,
,
.
Pero como hemos supuesto que , para vemos que esta última desigualdad es cierta.
Por tanto,
, para , lo que supone que si tomamos , entonces
.
Es decir
, ,
lo que equivale a
, .
Finalmente, sumando estas expresiones tenemos

que es la forma equivalente de la desigualdad buscada.

Si fuera , entonces  ,  por lo que

.

En cualquier otro caso la desigualdad sería estricta.

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