Consultorio: Una desigualdad a demostrar (II)

Vamos a demostrar la desigualdad de la entrada anterior:

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n,

utilizando la desigualdad de la media aritmética y geométrica. Esto es, utilizando el hecho de que si a_1, a_2, \ldots, a_n son n números reales positivos, entonces

\frac{ a_1+ a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{ a_1 a_2 \cdots a_n}.

Como hemos visto antes, podemos escribir

A_n =\frac{a_1+ a_2 + \ldots +a _n}{n} = \frac{ (n-1) A_{n-1} + a_n}{n}.

Por lo que si aplicamos la desigualdad de la medias aritmética y geométrica a los n términos

A_{n-1}, \ldots A_{n-1},  (n-1 veces),

a_n,

tenemos

A_n = \frac{(n-1) A_{n-1} + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{A_{n-1}^{n-1} a_n}

luego

A_{n}^{n} \geq A_{n-1}^{n-1} a_n.

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