Visión topológica del límite de sucesiones reales

La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades que se mantienen inalteradas mediante transformaciones continuas. Su aplicación en el Análisis es fundamental y esclarecedora. En particular, vamos a ver cómo definir el límite de una sucesión de números reales de una manera topológica extremadamente sencilla.

Sea p un punto de la recta real. Un entorno de p de radio r >0 no es más que el intervalo

(p-r, p+r).

Una sucesión (a_n) de números reales se puede concebir como una lista ordenada e infinita de números reales

(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots ),

donde por supuesto pueden existir elementos repetidos (incluso infinitos elementos repetidos). Por ejemplo, la sucesión

(1,2,2,2,2,2,2, \ldots ),

cuyo término general es a_n =1 si n=1, a_n =2 si n \geq 2 .

Pues bien, una sucesión a_n es convergente a p o bien tiene por límite p si y sólo si para cada entorno de p podemos encontrar una infinidad de términos de la sucesión dentro de él y una cantidad finita fuera. En símbolos, para todo r>0 existe m tal que si n \geq m se tiene que

a_n \in (p-r, p+r).

Lo importante es que esto ocurra para cualquier r>0.

sucesion-1

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Funciones monótonas (I)

Sean (A, \leq) y (B,\preceq) dos conjuntos parcialmente ordenados. Una aplicación

f:A \rightarrow B

se dice que es monótona creciente si para cualesquiera a,a' de A, a \leq a' implica f(a) \preceq f(a'). En el caso de que a \leq a' implique f(a') \preceq f(a) se dirá que f es monótona decreciente. Obsérvese que esta definición no es más que la idea de la “conservación” del orden a través de la aplicación.
Veamos dos conjuntos A=\{a_1,a_2,a_3\} y B=\{b_1, b_2, b_3, b_4 \} cuyos órdenes parciales están descritos mediante diagramas de Hasse
AyB
La aplicación f:A \rightarrow B dada por
f(a_1) =b_1, f(a_2)=b_2, f(a_3)=b_3
AyB-1

no es monótona pues a_1 \leq a_3 pero f(a_1) = b_1 no es comparable con f(a_3)= b_3.

En general, vamos a aplicar estos conceptos a la recta real y subconjuntos de ésta, considerando el orden usual. Así, si A es un subconjunto no vacío de \mathbb{R} y
f:A \rightarrow \mathbb{R}
es una función, entonces f es monótona creciente si y sólo si para cada par x_1,x_2 de elementos de A tales que x_1 \leq x_2 es f(x_1) \leq f(x_2). En el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) \leq f(x_2) diremos que es monótona no decreciente y en el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) < f(x_2) diremos que es estrictamente creciente. De forma análoga podemos definir las funciones decrecientes, monótonas no crecientes y estrictamente decrecientes.

Un primer resultado relaciona las funciones estrictamente monótonas y las inyectivas.

Teorema: Toda función real de variable real estrictamente monótona es inyectiva. Por tanto, tiene una inversa que también es estrictamente monótona en el mismo sentido que la original.
Prueba: Sea A un subconjunto no vacío de la recta real y sea f una función real definida en A y estrictamente creciente en dicho conjunto. Entonces dados x_1, x_2 \in A con x_1 \neq x_2, tenemos que x_1 < x_2 o bien x_2 <x_1 (en virtud del orden total de \mathbb{R}). Por tanto, f(x_1) < f(x_2) o bien f(x_2) < f(x_1) lo que nos dice que la función es inyectiva. Sea g:B \rightarrow A la inversa de f. Consideremos y_1 <y_2, elementos de B y sean x_1=g(y_1) y x_2 = g(y_2). Si fuera g(y_1) \geq g(y_2), entonces x_1 \geq x_2 y por ello y_1 = f(x_1) \geq f(x_2)= y_2. Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que g(x_1) < g(x_2) y g también es estrictamente creciente. Similares argumentos podemos emplear para el caso de funciones estrictamente decrecientes.

Sin embargo, existen funciones que son inyectivas pero no estrictamente monótonas. Por ejemplo, la función real de variable real definida en (0,1) mediante
f(x) = x, si x es racional,
f(x) = 1-x, si x es irracional.
De hecho no existe ningún subintervalo de su dominio donde sea monótona.

Desigualdades simples con valor absoluto

Vamos a explicar cómo se resuelven inecuaciones del tipo

|f(x)| \leq (<) b,

|f(x)| \geq (>) b,

donde f(x) es un función polinómica con grado mayor o igual que uno y b es un número real positivo. Para ello vamos a usar la idea de “distancia” que pasamos a definir.

Una función d: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} es una métrica o distancia si verifica

a) d(x,y) \geq 0, para todos (x,y) \in \mathbb{R}^2.

b) d(x,y)=d(y,x), para todos x,y \in \mathbb{R}.

c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

d) d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z), para todos x,y,z \in \mathbb{R}.

Es fácil comprobar que la función

f(x,y) = |x-y| es una métrica. Gráficamente nos da la distancia geométrica entre los puntos x e y de la recta real y como

f(x,0)= |x-0| = |x|

vemos que el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al origen. Usando estas ideas vamos a desarrollar el método general para la resolución de inecuaciones sencillas con valores absolutos. Vamos a verlo con un ejemplo. Consideremos la inecuación

|x^2-3x+1| \geq 2.

La reescribimos como

|x^2-3x-(-1)| \geq 2

y recordando la definición de distancia, si hacemos y=x^2-3x, entonces equivale a

d(y,-1) \geq 2.

Por tanto, buscamos los y que sean mayores o iguales que -1+2=1 o bien menores o iguales  que -1-2=-3. En resumen, debemos resolver las inecuaciones

x^2-3x \leq -3,

x^2-3x \geq 1.
Estas inecuaciones son polinómicas y resultan sencillas de resolver. El primer paso es ponerlas en forma normal:

x^2-3x+3 \leq 0,
x^2-3x-1 \geq 0.

La primera no tiene solución (ver gráfica en rojo) y la segunda (en azul) tiene por solución el conjunto ]-\infty, \frac{3-\sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{3+\sqrt{13}}{2}, +\infty[. Esta es la solución buscada.

graficaconsultorio3

En general, si tenemos
|f(x)| \leq (<) b
lo interpretamos como la distancia entre f(x) y 0 y así la solución se halla a través de las inecuaciones
-b \leq (<) f(x) \leq (<) b

y si tenemos |f(x)| \geq (>) b entonces la solución se halla a través de las inecuaciones

f(x) \geq (>) b

f(x) \leq (<) b.

Podemos simplificar un poco el proceso mediante algunas simplificaciones como en el ejemplo pero todo dependerá de la dificultad del polinomio.

Respuestas consultorio 2 16-09-2015

Consulta: Hola. Me piden realizar el estudio completo y gráfico aproximado de la siguiente función: f(x)=x^3-6x^2-15x+40 Los pasos a seguir que nos dio el profesor fueron los siguientes:
1) Dominio e intersección con los ejes.
2)Paridad, simetría.
3) Continuidad y asíntotas.
4) Análisis de f´´(x) = crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo locales.
5) Análisis de f´´(x)= Concavidad, punto de inflexión.
6) Gráfico aproximado.
7) Imágen, máximo o mínimos absolutos.
Les pido por favor si pueden ayudarme con los primeros 4 pasos al menos, ya que he faltado a las últimas clases por falta de tiempo, por trabajo, he pedido los apuntes y he hecho algunos ejercicios, pero más sencillos, este no he podido resolverlo. Desde ya muchas gracias.

Vamos a proceder. En primer lugar, la función es polinómica por lo que es indefinidamente derivable con continuidad. Esto es muy importante pues garantiza la aplicación de la inmensa mayoría de los teoremas relativos a las cuestiones que planteas.

  1. Dominio: Es evidente que el dominio es toda la recta real. La intersección con el eje de ordenadas se obtiene haciendo x =0 y resulta el punto (0,40). La intersección con el eje de abscisas se obtiene haciendo y=0. Esto es, resolviendo la ecuación

x^3-6x^2-15x+40 =0.

Ahora bien esta es una ecuación de tercer grado y podemos resolverla aplicando directamente la fórmula de Cardano-Viéta o buscando raíces con el teorema del resto. Evidentemente nos interesan sólo las raíces reales. Si las raíces fueran divisores del término independiente, esto es, divisores de 40 tendríamos suerte. Lamentablemente no es así como puedes comprobar con facilidad pues los divisores son

\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 20, \pm 40 \}

y ninguno de ellos es raíz de la ecuación. Por tanto, deberíamos utilizar las fórmulas de Cardano-Vieta pero no lo voy a hacer aquí (aunque lo explicaré en otra entrada).

2. No tiene simetrías respecto a los ejes ni al origen. Puesto que f(x) \neq f(-x) no es par y como f(-x) \neq -f(x) tampoco es impar. Cualquier otra simetría no es apreciable de forma directa.

3. Es una función polinómica por lo que es continua y no tiene asíntotas ni horizontales ni verticales ni oblicuas.

4. Llegamos al punto interesante. Vamos a derivar y obtenemos otra función polinómica de grado menor (más manejable como verás)

f'(x) = 3x^2-12x-15.

Buscamos los ceros de esta función

3x^2-12x-15=0,

dividimos por 3 ambos miembros de la igualdad quedando

x^2-4x-5 = 0.

Las soluciones de esta ecuación son -1 y 5 como puedes comprobar sin más que utilizar la fórmula para la ecuación de segundo grado. Estas soluciones permiten un estudio completo del crecimiento y los extremos de esta función. Dividimos la recta real en tres intervalos utilizando los puntos dados:

(-\infty, -1), (-1,5),(5, +\infty).

Estudiamos el signo de la derivada en dichos intervalos.  Esto es fácil pues basta mirar la gráfica de la derivada o bien sustituir el valor de un punto de cada intervalo en la fórmula de la derivada y calcular para obtener el signo.

graficaconsultorio2

Como podemos ver, la derivada es positiva en (-\infty, -1) y (5,+\infty) y negativa en (-1,5). Al ser dicha derivada una función continua y existir en todo dominio de f podemos afirmar que f es creciente en (-\infty, -1) y decreciente en (-1,5) luego -1 es un máximo local. Del mismo modo al ser de nuevo creciente en (5, +\infty), vemos que 5 es un mínimo local. No existen máximos y mínimos globales pues la función es tan pequeña como se quiera pues

\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = - \infty,

y tan grande como se quiera pues

\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty.

5. La concavidad y convexidad se pueden estudiar fácilmente en este caso. Bastará obtener la segunda derivada

f''(x) = 6x-12.

Planteamos la ecuación

6x-12 = 0

y obtenemos una única solución x =2. Así dividimos la recta real de nuevo en dos intervalos

(-\infty, 2), (2, \infty).

La continuidad de la segunda derivada nos permite mediante el estudio del signo en estos intervalos obtener los puntos de inflexión. Así pues, es negativa en (-\infty, 2) y esto significa que f es cóncava en ese intervalo y es positiva en (2, \infty) por lo que será convexa en el otro intervalo. En definitiva, 2 es punto de inflexión.

6. Con lo visto ya puedes hacerte un gráfico aproximado. Para ello debes obtener las imágenes de los puntos notables que son -1,2 y 5. Es decir,

f(-1) = 48, f(2) =-6, f(5)=-60

graficaconsultorio3

Por cierto, así puedes apreciar que va a tener tres raíces reales.

Respuestas consultorio 15-09-15

Pregunta:  Hola, tengo un problema acerca de un triángulo. Me dan las coordenadas de sus dos vértices A(2,2) B(10,8) y el área del triángulo ABC, 25. Pero me piden el tercer vértice C. He intentado con sistemas de ecuaciones pero no me resulta. Agradecería su ayuda por favor. De antemano, el resultado es (9,1) o (3,9).

Respuesta:

Creo que la mejor forma de abordar la cuestión es utilizar el producto vectorial. Dados dos vectores \overline{u} y \overline{v} del espacio euclídeo \mathbb{R}^3,  su producto vectorial es un nuevo vector \overline{w} = \overline{u} \times \overline{v} que tiene por módulo

|\overline{u} \times \overline{v}|= |\overline{u}| |\overline{v}| \sin{\alpha},

donde \alpha es el ángulo que forman ambos vectores. La dirección de \overline{w} es perpendicular al plano que determinan \overline{u} y \overline{v} y su sentido se obtiene mediante la llamada “regla del sacacorchos” que nos dice que se avanza del primer vector \overline{u} al segundo \overline{v} como si se tratara del giro de un sacacorchos. Según “suba” o “baje” se consigue el sentido buscado.

Aquí vamos a utilizar vectores del plano pero esto no supone mayor problema pues podemos suponer que son vectores del espacio \mathbb{R}^3 con su tercera componente nula. La clave de la cuestión es que gracias al módulo del producto vectorial vamos a poner en relación las coordenadas de los vértices con el área del triángulo. La siguiente figura nos muestra de una manera sencilla cómo hacerlo
Documento escaneado
El área del triángulo es
A_t = |\overline{AB}| h / 2
Esto es, base por altura partido por 2. En este caso, la base es el módulo del vector \overline{AB} y la altura se obtiene mediante
\sin \alpha = \frac{h}{|\overline{AC}|}.
Por tanto, tenemos que el área es
A_T = \frac{|\overline{AB}| |\overline{AC}| \sin \alpha }{2} = \frac{|\overline{AB} \times \overline{AC}|}{2}
Pero , ¿cómo hallar el producto vectorial? Basta utilizar el cálculo de determinantes (vamos a prescindir de la línea encima de los vectores para simplificar la escritura). Así tenemos que si u=(x,y,z), v=(r,s,t), entonces llamando i,j,k a los vectores unitarios del espacio euclídeo \mathbb{R}^3, tenemos
u \times v = \left\| \begin{bmatrix}  i & j & k \\  x & y & z \\  r & s & t  \end{bmatrix} \right\| = i (yt-sz)-j(xt-rz)+k(xs-ry).
En nuestro caso va a resultar mucho más sencillo pues la tercera componente de ambos vectores es cero
AB \times AC = \left\| \begin{bmatrix}  i & j & k \\  8 & 6 & 0 \\  x-2 & y-2 & 0  \end{bmatrix} \right\| = k(8(y-2)-6(x-2)).
El módulo de este vector es
|AB \times AC| = |k(8(y-2)-6(x-2))| = |8y-16-6x+12| = |8y-6x-4|.
Por tanto si A_T = 25, entonces
2 \cdot 25 = |8y-6x-4|.
Como ves tenemos la ecuación de dos rectas correspondientes a las opciones del valor absoluto:

8y-6x- 54 = 0,

-8y+6x-46 = 0.

Esto era de esperar pues el vértice C puede hallarse “arriba” o “abajo” del lado AB sin que cambie el valor del área. Al sustituir los puntos que me das, vemos que (3,9) pertenece a la primera recta y (9,1) a la segunda. Es decir, ambos son soluciones.  Sin embargo, esta no es la mejor aproximación al problema. En el primer comentario de esta entrada está la solución desde un punto de vista más simple y completo. Una solución debida a Ignacio Larrosa y que recomiendo que leas.

Nueva cara

He decidido centralizar todos los dominios que poseo y redirigirlos a esta página. Este blog personal será mi ventana a la red. La antigua página de matematicas.net  (ver los enlaces) seguirá existiendo pero a partir de ahora el consultorio y las exposiciones de temas matemáticos se responderán vía correo o bien vía entrada de este blog.