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Funciones monótonas (IV)

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Sea un intervalo no vacío de la recta real. Recordemos que la propiedad definitoria de un intervalo es que si son elementos del intervalo con , entonces existe un de dicho intervalo que verifica . Esto mismo puede trasladarse con ciertos matices a las funciones que se definan sobre intervalos. Así decimos que una función real definida sobre un intervalo verifica la propiedad del valor intermedio si para cualesquiera con , si es un valor entre y , entonces hallaremos cierto que cumple .  Obsérvese que si , bastará tomar o para que esto sea cierto y, en consecuencia, las funciones constantes verifican trivialmente la propiedad del valor intermedio. Lo más interesante de las funciones con esta propiedad es que transforman intervalos en intervalos (aunque no necesariamente del mismo tipo).

Teorema 1: Sea un intervalo no vacío de la recta real y sea una función que verifica la propiedad del valor intermedio. Entonces es un intervalo.

Prueba: Obviamente es no vacío. Si consiste en un sólo punto entonces también consiste en un sólo punto y también es un intervalo. Supongamos que tiene más de un punto y sean elementos de con . Hallaremos con y . Si , la propiedad del valor intermedio nos asegura que existe un entre y (no preciso si uno es mayor que el otro) tal que , luego y es un intervalo.

Es fácil comprobar que no toda función monótona tiene la propiedad del valor intermedio. Por ejemplo, la gráfica siguiente nos muestra como una función monótona creciente transforma el intervalo en dos subintervalos disjuntos.

Vamos a probar que las funciones reales de variable real continuas verifican la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, transforman intervalos en intervalos. Primero necesitamos algunos resultados.

Teorema 2: Sea un intervalo no vacío y sea una función real continua en un punto de y con . Entonces existe un tal que tiene el mismo signo que en .

Prueba: Supongamos que . Como es continua en , dado , hallaremos tal que

 implica .

Esto es, si , lo que prueba que en dicho entorno de la función tiene el mismo signo que . Si fuera , tomamos y el desarrollo es análogo.

Teorema 3: (Bolzano). Sea un compacto de la recta real y sea una función real continua en dicho compacto y con (extremos de distinto signo). Entonces hallaremos al menos un tal que .

Prueba: Supongamos que y . Definimos el conjunto

.

Es decir, los puntos del compacto donde la función es no negativa. Obviamente es no vacío pues al menos pertence a . Además está acotado por . Esto significa que existe  y es único el valor . Probaremos que . En efecto, si no fuera así, sería y aplicando el teorema anterior, existiría un entorno de donde tendría signo positivo. Esto, es habría al menos un que está en . Esto contradice la definición de  por lo que no es posible. Del mismo modo, si fuera , hallaríamos un entorno de donde es negativa. Ahora bien, por definición del supremo hallaríamos un tal que . Pero esto no es posible pues para dicho sería . Para evitar estas contradicciones concluimos que .

Teorema 4: Sea una función real continua en un intervalo compacto . Sean dos puntos de con . Entonces toma todos los valores comprendidos entre y .

Prueba: La continuidad en implica la continuidad en . Sea un número real comprendido entre y . Definimos la función y resulta continua en con . Aplicando el teorema de Bolzano, hallamos un tal que

.

Esto es, .

Teorema 5: Sea un intervalo no vacío ni reducido a un punto y sea una función real continua en dicho intervalo. Entonces es un intervalo.

Prueba: Sean dos elementos de . Si fuera un conjunto unipuntual no habría nada que probar. Supongamos que existen en con . Hallaremos , tales que y . Ahora bien, es evidente que por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que . Entonces la función es continua en el compacto y aplicando el teorema 4 concluimos que existe  tal que está comprendido entre y .  Esto significa que cumple la propiedad del valor intermedio y, en consecuencia, es un intervalo.

Podemos precisar más si el intervalo en cuestión es compacto. Pero eso lo veremos en la siguiente entrada de esta serie

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