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Funciones monótonas (III)

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Vamos a estudiar las relaciones entre la monotonía y continuidad de las funciones reales de variable real. Esto precisa de un repaso de conceptos topológicos para hacer la exposición más clara y amplia.

Definición 1: Sean e dos espacios topológicos y sea una aplicación. Diremos que es continua en si para todo abierto de , su imagen inversa es un abierto de .

Esta es la definición de lo que podemos llamar continuidad global. También nos interesa la continuidad puntual.

Definición 2: Sean e dos espacios topológicos, una función de en y . Decimos que es continua en si para todo entorno de existe un entorno de que verifica .

Obsérvese la utilización de entornos en lugar de abiertos. Recordemos que un entorno de un punto no es más que un conjunto que incluye a un abierto al que pertenece . Además, según esta definición de continuidad puntual, en todo punto aislado resulta que es continua. En efecto, si es un punto aislado de , entonces existe un entorno tal que . Por tanto, dado cualquier entorno de , bastará tomar para que .

Vamos a dar algunas condiciones equivalentes de continuidad.

Teorema 1: Sean e dos espacios topológicos. Son equivalentes:
(1) es continua en .
(2) Para cada subconjunto de es .
(3) Para cada cerrado de es un cerrado de .

Prueba: (1) implica (2). Sea un subconjunto de . Supongamos que , entonces trivialmente . Supongamos que es no vacío y sea . Si es un entorno de , hallaremos un abierto tal que . Por tanto,

.

Pero al ser continua esto implica que es abierto y es un entorno de . En consecuencia, y de aquí

.

Es decir, todo entorno de corta a por lo que . Como es claro que , concluimos pues la inclusión buscada: .

(2) implica (3). Sea un cerrado de y sea . Como

,

resulta que si , entonces

.

Esto prueba que y por ello contiene todos sus puntos adherentes y es cerrado.

(3) implica (1). Sea  un abierto de . Entonces es abierto y tenemos que

es cerrado. En consecuencia, es abierto y la función es continua.

Para acabar esta entrada nos queda relacionar la continuidad global y la puntual

Teorema 2: Sean e dos espacios topológicos. Son equivalentes:

(a) es continua en todo punto .

(b) es continua en .

Prueba:

(a) implica (b). Sea un abierto de . Sea . Hallaremos que y existe un entorno abierto del punto tal que

.

Es decir,

.

Hacemos esto para cada punto de quedando

y así es abierto al ser unión de abiertos. Esto nos permite afirmar que es continua en .

(b) implica (a). Sea continua en y sea un punto de y un entorno de . Hallaremos pues un abierto de tal que

.

Luego

.

Como es continua, resulta que es un abierto y un entorno de . Para acabar

.

Esto prueba que es un entorno de que cumple la definición de continuidad puntual y así es continua en .

En la próxima entrada veremos que ocurre con las funciones continuas y los compactos.

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