Funciones monótonas (III)

Vamos a estudiar las relaciones entre la monotonía y continuidad de las funciones reales de variable real. Esto precisa de un repaso de conceptos topológicos para hacer la exposición más clara y amplia.

Definición 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos y sea f:X \rightarrow Y una aplicación. Diremos que f es continua en X si para todo abierto V de S, su imagen inversa f^{-1}(V) es un abierto de T.

Esta es la definición de lo que podemos llamar continuidad global. También nos interesa la continuidad puntual.

Definición 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos, f una función de X en Y y x \in X. Decimos que f es continua en x si para todo entorno V de f(x) existe un entorno U de x que verifica f(U) \subset V.

Obsérvese la utilización de entornos en lugar de abiertos. Recordemos que un entorno de un punto x no es más que un conjunto que incluye a un abierto al que pertenece x. Además, según esta definición de continuidad puntual, en todo punto aislado resulta que f es continua. En efecto, si x_0 es un punto aislado de X, entonces existe un entorno U' tal que U' \cap X= \{x_0\}. Por tanto, dado cualquier entorno V de f(x_0), bastará tomar U' para que f(U') = \{f(x_0) \} \subset V.

Vamos a dar algunas condiciones equivalentes de continuidad.

Teorema 1: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:
(1) f:X \rightarrow Y es continua en X.
(2) Para cada subconjunto A de X es f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.
(3) Para cada cerrado B de Y es f^{-1}(B) un cerrado de X.

Prueba: (1) implica (2). Sea A un subconjunto de X. Supongamos que \overline{A} = \emptyset, entonces trivialmente \emptyset = f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}. Supongamos que \overline{A} es no vacío y sea x \in \overline{A}. Si V es un entorno de f(x), hallaremos un abierto \theta tal que f(x) \in \theta \subset V. Por tanto,

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Pero al ser f continua esto implica que f^{-1}(\theta) es abierto y f^{-1}(V) es un entorno de x. En consecuencia, f^{-1}(V) \cap A \neq \emptyset y de aquí

\emptyset \neq f(f^{-1}(V) \cap A) \subset f^(f^{-1}(V)) \cap f^{-1}(A) \subset V \cap f^{-1}(A).

Es decir, todo entorno de f(x) corta a f(A) por lo que f(x) \in \overline{f(A)}. Como es claro que f(x) \in f( \overline{A}), concluimos pues la inclusión buscada: f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.

(2) implica (3). Sea B un cerrado de Sy sea A=f^{-1}(B). Como

f(A) = f(f^{-1}(B)) \subset B,

resulta que si x \in \overline{A}, entonces

f(x) \in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} \subset \overline{B} = B.

Esto prueba que x \in f^{-1}(B) =A y por ello A contiene todos sus puntos adherentes y es cerrado.

(3) implica (1). Sea \theta un abierto de S. Entonces Y-\theta es abierto y tenemos que

f^{-1}(Y-\theta) = X- f^{-1}(\theta)

es cerrado. En consecuencia, f^{-1}(\theta) es abierto y la función f es continua.

Para acabar esta entrada nos queda relacionar la continuidad global y la puntual

Teorema 2: Sean (X,T) e (Y,S) dos espacios topológicos. Son equivalentes:

(a) f:X \rightarrow Y es continua en todo punto x \in X.

(b) f:X \rightarrow Y es continua en X.

Prueba:

(a) implica (b). Sea \theta un abierto de S. Sea x \in f^{-1}(\theta). Hallaremos que f(x) \in \theta y existe un entorno abierto U_x del punto x tal que

f(U_x) \subset \theta.

Es decir,

x \in U_x \subset f^{-1}(\theta).

Hacemos esto para cada punto de f^{-1}(\theta) quedando

\cup_{x} U_x = f^{-1}(\theta)

y así f^{-1}(\theta) es abierto al ser unión de abiertos. Esto nos permite afirmar que f es continua en X.

(b) implica (a). Sea f continua en X y sea x un punto de X y V un entorno de f(x). Hallaremos pues un abierto \theta de S tal que

f(x) \in \theta \subset V.

Luego

x \in f^{-1}(\theta) \subset f^{-1}(V).

Como f es continua, resulta que f^{-1}(\theta) es un abierto y f^{-1}(V) un entorno de x. Para acabar

f(f^{-1}(V)) \subset V.

Esto prueba que U=f^{-1}(V) es un entorno de x que cumple la definición de continuidad puntual y así f es continua en x.

En la próxima entrada veremos que ocurre con las funciones continuas y los compactos.

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