Consideremos una función real definida en un intervalo cerrado y acotado no trivial . Vamos a probar que si es creciente o decreciente, entonces cada punto interior de su dominio tiene límite por la izquierda y por la derecha y los puntos y tienen límite por la derecha y la izquierda, respectivamente.
Teorema: Sea una función creciente y sea , entonces existen y y se cumple .
Prueba: Consideramos el conjunto
.
Este conjunto es no vacío pues es un punto interior de . Además está acotado inferiormente por por lo que existe y es único el valor
.
Probaremos que . En efecto, dado , podemos hallar un tal que
.
Pero como es creciente resulta que si es
.
Tomando esto nos lleva a
si .
Es decir, , que era lo que queríamos probar. De modo similar, tomando el conjunto
se puede probar que y por definición de ínfimo y supremo se tiene
.
Sólo hacen falta modificaciones triviales para deducir que existen y .
¿Qué pasaría si fuera decreciente? Pues sería creciente y entonces podríamos aplicar el teorema demostrado en párrafos anteriores para concluir que existen los límites laterales en cada punto interior y verificarían
.
Esto es,
.
En todo caso, este resultado nos muestra que una función monótona en un intervalo cerrado y acotado no trivial solo puede tener discontinuidades de salto.