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Funciones monótonas (II)

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Consideremos una función real definida en un intervalo cerrado y acotado no trivial . Vamos a probar que si es creciente o decreciente, entonces cada punto interior de su dominio tiene límite por la izquierda y por la derecha y los puntos y tienen límite por la derecha y la izquierda, respectivamente.

Teorema: Sea una función creciente y sea , entonces existen y y se cumple .

Prueba: Consideramos el conjunto

.

Este conjunto es no vacío pues es un punto interior de . Además está acotado inferiormente por por lo que existe y es único el valor

.

Probaremos que . En efecto, dado , podemos hallar un tal que

.

Pero como es creciente resulta que si es

.

Tomando esto nos lleva a

si .

Es decir, , que era lo que queríamos probar. De modo similar, tomando el conjunto

se puede probar que y por definición de ínfimo y supremo se tiene

.

Sólo hacen falta modificaciones triviales para deducir que existen y .

¿Qué pasaría si fuera decreciente? Pues sería creciente y entonces podríamos aplicar el teorema demostrado en párrafos anteriores para concluir que existen los límites laterales en cada punto interior y verificarían

.

Esto es,

.

En todo caso, este resultado nos muestra que una función monótona en un intervalo cerrado y acotado no trivial solo puede tener discontinuidades de salto.

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