Funciones monótonas (II)

Consideremos una función real f definida en un intervalo cerrado y acotado no trivial [a,b]. Vamos a probar que si f es creciente o decreciente, entonces cada punto interior de su dominio tiene límite por la izquierda y por la derecha y los puntos a y b tienen límite por la derecha y la izquierda, respectivamente.

Teorema: Sea f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} una función creciente y sea c \in (a,b), entonces existen f(c+) y f(c-) y se cumple f(c-) \leq f(c) \leq f(c+).

Prueba: Consideramos el conjunto

A= \{f(x) : c<x<b \}.

Este conjunto es no vacío pues c es un punto interior de [a.b]. Además A está acotado inferiormente por f(c) por lo que existe y es único el valor

\alpha = \inf A.

Probaremos que f(c+) = \inf A. En efecto, dado \epsilon >0, podemos hallar un x_0 \in A tal que

f(x_0) \leq \alpha +\epsilon.

Pero como f es creciente resulta que si c < x <b es

\alpha \leq f(x) \leq f(x_0) < \alpha + \epsilon.

Tomando \delta = x_{0}-c >0 esto nos lleva a

|f(x)- \alpha| < \epsilon si c<x< c+\delta.

Es decir, f(c+) = \alpha, que era lo que queríamos probar. De modo similar, tomando el conjunto

B= \{ f(x) : a<x<c \}

se puede probar que f(c-) = \sup B y por definición de ínfimo y supremo se tiene

f(c-) \leq f(c) \leq f(c+).

Sólo hacen falta modificaciones triviales para deducir que existen f(a+) y f(b-).

¿Qué pasaría si f fuera decreciente? Pues -f sería creciente y entonces podríamos aplicar el teorema demostrado en párrafos anteriores para concluir que existen los límites laterales en cada punto interior c y verificarían

-f(c-) \leq -f(c) \leq -f(c+).

Esto es,

f(c+) \leq f(c) \leq f(c-).

En todo caso, este resultado nos muestra que una función monótona en un intervalo cerrado y acotado no trivial solo puede tener discontinuidades de salto.

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