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Visión topológica del límite de sucesiones reales

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La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades que se mantienen inalteradas mediante transformaciones continuas. Su aplicación en el Análisis es fundamental y esclarecedora. En particular, vamos a ver cómo definir el límite de una sucesión de números reales de una manera topológica extremadamente sencilla.

Sea un punto de la recta real. Un entorno de de radio no es más que el intervalo

.

Una sucesión de números reales se puede concebir como una lista ordenada e infinita de números reales

,

donde por supuesto pueden existir elementos repetidos (incluso infinitos elementos repetidos). Por ejemplo, la sucesión

,

cuyo término general es si , si .

Pues bien, una sucesión es convergente a o bien tiene por límite si y sólo si para cada entorno de podemos encontrar una infinidad de términos de la sucesión dentro de él y una cantidad finita fuera. En símbolos, para todo existe tal que si se tiene que

.

Lo importante es que esto ocurra para cualquier .

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