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Funciones monótonas (I)

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Sean y dos conjuntos parcialmente ordenados. Una aplicación

se dice que es monótona creciente si para cualesquiera de , implica . En el caso de que implique se dirá que es monótona decreciente. Obsérvese que esta definición no es más que la idea de la “conservación” del orden a través de la aplicación.
Veamos dos conjuntos y cuyos órdenes parciales están descritos mediante diagramas de Hasse

La aplicación dada por

no es monótona pues pero no es comparable con .

En general, vamos a aplicar estos conceptos a la recta real y subconjuntos de ésta, considerando el orden usual. Así, si es un subconjunto no vacío de y

es una función, entonces es monótona creciente si y sólo si para cada par de elementos de tales que es . En el caso de que implique diremos que es monótona no decreciente y en el caso de que implique diremos que es estrictamente creciente. De forma análoga podemos definir las funciones decrecientes, monótonas no crecientes y estrictamente decrecientes.

Un primer resultado relaciona las funciones estrictamente monótonas y las inyectivas.

Teorema: Toda función real de variable real estrictamente monótona es inyectiva. Por tanto, tiene una inversa que también es estrictamente monótona en el mismo sentido que la original.
Prueba: Sea un subconjunto no vacío de la recta real y sea una función real definida en y estrictamente creciente en dicho conjunto. Entonces dados con , tenemos que o bien (en virtud del orden total de ). Por tanto, o bien lo que nos dice que la función es inyectiva. Sea la inversa de . Consideremos , elementos de y sean y . Si fuera , entonces y por ello . Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que y también es estrictamente creciente. Similares argumentos podemos emplear para el caso de funciones estrictamente decrecientes.

Sin embargo, existen funciones que son inyectivas pero no estrictamente monótonas. Por ejemplo, la función real de variable real definida en mediante
, si es racional,
, si es irracional.
De hecho no existe ningún subintervalo de su dominio donde sea monótona.

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