Funciones monótonas (I)

Sean (A, \leq) y (B,\preceq) dos conjuntos parcialmente ordenados. Una aplicación

f:A \rightarrow B

se dice que es monótona creciente si para cualesquiera a,a' de A, a \leq a' implica f(a) \preceq f(a'). En el caso de que a \leq a' implique f(a') \preceq f(a) se dirá que f es monótona decreciente. Obsérvese que esta definición no es más que la idea de la “conservación” del orden a través de la aplicación.
Veamos dos conjuntos A=\{a_1,a_2,a_3\} y B=\{b_1, b_2, b_3, b_4 \} cuyos órdenes parciales están descritos mediante diagramas de Hasse
AyB
La aplicación f:A \rightarrow B dada por
f(a_1) =b_1, f(a_2)=b_2, f(a_3)=b_3
AyB-1

no es monótona pues a_1 \leq a_3 pero f(a_1) = b_1 no es comparable con f(a_3)= b_3.

En general, vamos a aplicar estos conceptos a la recta real y subconjuntos de ésta, considerando el orden usual. Así, si A es un subconjunto no vacío de \mathbb{R} y
f:A \rightarrow \mathbb{R}
es una función, entonces f es monótona creciente si y sólo si para cada par x_1,x_2 de elementos de A tales que x_1 \leq x_2 es f(x_1) \leq f(x_2). En el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) \leq f(x_2) diremos que es monótona no decreciente y en el caso de que x_1 < x_2 implique f(x_1) < f(x_2) diremos que es estrictamente creciente. De forma análoga podemos definir las funciones decrecientes, monótonas no crecientes y estrictamente decrecientes.

Un primer resultado relaciona las funciones estrictamente monótonas y las inyectivas.

Teorema: Toda función real de variable real estrictamente monótona es inyectiva. Por tanto, tiene una inversa que también es estrictamente monótona en el mismo sentido que la original.
Prueba: Sea A un subconjunto no vacío de la recta real y sea f una función real definida en A y estrictamente creciente en dicho conjunto. Entonces dados x_1, x_2 \in A con x_1 \neq x_2, tenemos que x_1 < x_2 o bien x_2 <x_1 (en virtud del orden total de \mathbb{R}). Por tanto, f(x_1) < f(x_2) o bien f(x_2) < f(x_1) lo que nos dice que la función es inyectiva. Sea g:B \rightarrow A la inversa de f. Consideremos y_1 <y_2, elementos de B y sean x_1=g(y_1) y x_2 = g(y_2). Si fuera g(y_1) \geq g(y_2), entonces x_1 \geq x_2 y por ello y_1 = f(x_1) \geq f(x_2)= y_2. Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que g(x_1) < g(x_2) y g también es estrictamente creciente. Similares argumentos podemos emplear para el caso de funciones estrictamente decrecientes.

Sin embargo, existen funciones que son inyectivas pero no estrictamente monótonas. Por ejemplo, la función real de variable real definida en (0,1) mediante
f(x) = x, si x es racional,
f(x) = 1-x, si x es irracional.
De hecho no existe ningún subintervalo de su dominio donde sea monótona.

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4 pensamientos en “Funciones monótonas (I)

  1. karol freire

    Una funcion f(x) es monótona en un intervalo (a,b) cuando es monótona creciente o monótona decreciente.
    Una función f(x) es monótona creciente en un intervalo (a,b) cuando para cada x,y perteneciente a (a,b), si x < y entonces f(x) < f(y).
    Una función f(x) es monótona decreciente en un intervalo (a,b) cuando para cada x,y perteneciente a (a,b), si x f(y).
    Otra manera de decirlo : Si una función es creciente o decreciente diremos que es monótona.
    La pagina me ayudo a entender sobre la funcion monotona ya que esta redactado clara y sencillamente

    KAROL FREIRE
    PRIMERO DE BACHILLERATO “A”

    Responder
  2. PRICILA AYALA

    El tema que presenta es de mucha importancia ya que nos da a conocer que una funcion es monótona cuando conserava el orden e indica que puede ser monótona creciente si X1, X2 elementos de A tales que X1 ≤ X2 es f(X1) ≤ f(X2); y monótona decreciente si X2˂X1 implique f(X2) ≤ f(X1) .

    PRICILA AYALA
    PRIMERO BACILLERATO “A”

    Responder
  3. Mary Cáceres Noriega

    Es un tema de mucha importancia, donde se estudia cuando una función es monótona creciente si X1, X2 elementos de A tales que X1 ≤ X2 es f(X1) ≤ f(X2); y monótona decreciente si X2˂X1 implique f(X2) ≤ f(X1)
    Esta pagina nos ayuda mucho a nosotros los estudiantes ya que sus contenidos son claros para nuestra comprensión.

    Marycarmen Cáceres
    Primero Bachillerato “A”

    Responder

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