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Respuestas consultorio 2 16-09-2015

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Consulta: Hola. Me piden realizar el estudio completo y gráfico aproximado de la siguiente función: f(x)=x^3-6x^2-15x+40 Los pasos a seguir que nos dio el profesor fueron los siguientes:
1) Dominio e intersección con los ejes.
2)Paridad, simetría.
3) Continuidad y asíntotas.
4) Análisis de f´´(x) = crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo locales.
5) Análisis de f´´(x)= Concavidad, punto de inflexión.
6) Gráfico aproximado.
7) Imágen, máximo o mínimos absolutos.
Les pido por favor si pueden ayudarme con los primeros 4 pasos al menos, ya que he faltado a las últimas clases por falta de tiempo, por trabajo, he pedido los apuntes y he hecho algunos ejercicios, pero más sencillos, este no he podido resolverlo. Desde ya muchas gracias.

Vamos a proceder. En primer lugar, la función es polinómica por lo que es indefinidamente derivable con continuidad. Esto es muy importante pues garantiza la aplicación de la inmensa mayoría de los teoremas relativos a las cuestiones que planteas.

  1. Dominio: Es evidente que el dominio es toda la recta real. La intersección con el eje de ordenadas se obtiene haciendo y resulta el punto . La intersección con el eje de abscisas se obtiene haciendo . Esto es, resolviendo la ecuación

.

Ahora bien esta es una ecuación de tercer grado y podemos resolverla aplicando directamente la fórmula de Cardano-Viéta o buscando raíces con el teorema del resto. Evidentemente nos interesan sólo las raíces reales. Si las raíces fueran divisores del término independiente, esto es, divisores de 40 tendríamos suerte. Lamentablemente no es así como puedes comprobar con facilidad pues los divisores son

y ninguno de ellos es raíz de la ecuación. Por tanto, deberíamos utilizar las fórmulas de Cardano-Vieta pero no lo voy a hacer aquí (aunque lo explicaré en otra entrada).

2. No tiene simetrías respecto a los ejes ni al origen. Puesto que no es par y como  tampoco es impar. Cualquier otra simetría no es apreciable de forma directa.

3. Es una función polinómica por lo que es continua y no tiene asíntotas ni horizontales ni verticales ni oblicuas.

4. Llegamos al punto interesante. Vamos a derivar y obtenemos otra función polinómica de grado menor (más manejable como verás)

.

Buscamos los ceros de esta función

,

dividimos por 3 ambos miembros de la igualdad quedando

.

Las soluciones de esta ecuación son y como puedes comprobar sin más que utilizar la fórmula para la ecuación de segundo grado. Estas soluciones permiten un estudio completo del crecimiento y los extremos de esta función. Dividimos la recta real en tres intervalos utilizando los puntos dados:

.

Estudiamos el signo de la derivada en dichos intervalos.  Esto es fácil pues basta mirar la gráfica de la derivada o bien sustituir el valor de un punto de cada intervalo en la fórmula de la derivada y calcular para obtener el signo.

Como podemos ver, la derivada es positiva en y y negativa en . Al ser dicha derivada una función continua y existir en todo dominio de podemos afirmar que es creciente en  y decreciente en luego es un máximo local. Del mismo modo al ser de nuevo creciente en , vemos que es un mínimo local. No existen máximos y mínimos globales pues la función es tan pequeña como se quiera pues

,

y tan grande como se quiera pues

.

5. La concavidad y convexidad se pueden estudiar fácilmente en este caso. Bastará obtener la segunda derivada

.

Planteamos la ecuación

y obtenemos una única solución . Así dividimos la recta real de nuevo en dos intervalos

.

La continuidad de la segunda derivada nos permite mediante el estudio del signo en estos intervalos obtener los puntos de inflexión. Así pues, es negativa en y esto significa que es cóncava en ese intervalo y es positiva en por lo que será convexa en el otro intervalo. En definitiva, 2 es punto de inflexión.

6. Con lo visto ya puedes hacerte un gráfico aproximado. Para ello debes obtener las imágenes de los puntos notables que son -1,2 y 5. Es decir,

, ,

Por cierto, así puedes apreciar que va a tener tres raíces reales.

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