Desigualdades simples con valor absoluto

Vamos a explicar cómo se resuelven inecuaciones del tipo

|f(x)| \leq (<) b,

|f(x)| \geq (>) b,

donde f(x) es un función polinómica con grado mayor o igual que uno y b es un número real positivo. Para ello vamos a usar la idea de “distancia” que pasamos a definir.

Una función d: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} es una métrica o distancia si verifica

a) d(x,y) \geq 0, para todos (x,y) \in \mathbb{R}^2.

b) d(x,y)=d(y,x), para todos x,y \in \mathbb{R}.

c) d(x,y)=0 si y sólo si x=y.

d) d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z), para todos x,y,z \in \mathbb{R}.

Es fácil comprobar que la función

f(x,y) = |x-y| es una métrica. Gráficamente nos da la distancia geométrica entre los puntos x e y de la recta real y como

f(x,0)= |x-0| = |x|

vemos que el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al origen. Usando estas ideas vamos a desarrollar el método general para la resolución de inecuaciones sencillas con valores absolutos. Vamos a verlo con un ejemplo. Consideremos la inecuación

|x^2-3x+1| \geq 2.

La reescribimos como

|x^2-3x-(-1)| \geq 2

y recordando la definición de distancia, si hacemos y=x^2-3x, entonces equivale a

d(y,-1) \geq 2.

Por tanto, buscamos los y que sean mayores o iguales que -1+2=1 o bien menores o iguales  que -1-2=-3. En resumen, debemos resolver las inecuaciones

x^2-3x \leq -3,

x^2-3x \geq 1.
Estas inecuaciones son polinómicas y resultan sencillas de resolver. El primer paso es ponerlas en forma normal:

x^2-3x+3 \leq 0,
x^2-3x-1 \geq 0.

La primera no tiene solución (ver gráfica en rojo) y la segunda (en azul) tiene por solución el conjunto ]-\infty, \frac{3-\sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{3+\sqrt{13}}{2}, +\infty[. Esta es la solución buscada.

graficaconsultorio3

En general, si tenemos
|f(x)| \leq (<) b
lo interpretamos como la distancia entre f(x) y 0 y así la solución se halla a través de las inecuaciones
-b \leq (<) f(x) \leq (<) b

y si tenemos |f(x)| \geq (>) b entonces la solución se halla a través de las inecuaciones

f(x) \geq (>) b

f(x) \leq (<) b.

Podemos simplificar un poco el proceso mediante algunas simplificaciones como en el ejemplo pero todo dependerá de la dificultad del polinomio.

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