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Respuestas consultorio 15-09-15

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Pregunta:  Hola, tengo un problema acerca de un triángulo. Me dan las coordenadas de sus dos vértices A(2,2) B(10,8) y el área del triángulo ABC, 25. Pero me piden el tercer vértice C. He intentado con sistemas de ecuaciones pero no me resulta. Agradecería su ayuda por favor. De antemano, el resultado es (9,1) o (3,9).

Respuesta:

Creo que la mejor forma de abordar la cuestión es utilizar el producto vectorial. Dados dos vectores y  del espacio euclídeo ,  su producto vectorial es un nuevo vector que tiene por módulo

,

donde es el ángulo que forman ambos vectores. La dirección de  es perpendicular al plano que determinan y y su sentido se obtiene mediante la llamada “regla del sacacorchos” que nos dice que se avanza del primer vector al segundo como si se tratara del giro de un sacacorchos. Según “suba” o “baje” se consigue el sentido buscado.

Aquí vamos a utilizar vectores del plano pero esto no supone mayor problema pues podemos suponer que son vectores del espacio con su tercera componente nula. La clave de la cuestión es que gracias al módulo del producto vectorial vamos a poner en relación las coordenadas de los vértices con el área del triángulo. La siguiente figura nos muestra de una manera sencilla cómo hacerlo

El área del triángulo es

Esto es, base por altura partido por 2. En este caso, la base es el módulo del vector y la altura se obtiene mediante
.
Por tanto, tenemos que el área es

Pero , ¿cómo hallar el producto vectorial? Basta utilizar el cálculo de determinantes (vamos a prescindir de la línea encima de los vectores para simplificar la escritura). Así tenemos que si , , entonces llamando a los vectores unitarios del espacio euclídeo , tenemos
.
En nuestro caso va a resultar mucho más sencillo pues la tercera componente de ambos vectores es cero
.
El módulo de este vector es
.
Por tanto si , entonces
.
Como ves tenemos la ecuación de dos rectas correspondientes a las opciones del valor absoluto:

,

.

Esto era de esperar pues el vértice puede hallarse “arriba” o “abajo” del lado sin que cambie el valor del área. Al sustituir los puntos que me das, vemos que pertenece a la primera recta y a la segunda. Es decir, ambos son soluciones.  Sin embargo, esta no es la mejor aproximación al problema. En el primer comentario de esta entrada está la solución desde un punto de vista más simple y completo. Una solución debida a Ignacio Larrosa y que recomiendo que leas.

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